Maxima et minima de $\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ sans calcul

Question

Comment trouver les valeurs minimum et maximum de $y=\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ pour toutes les valeurs réelles de $x$ sans utiliser le calcul?

Peut-être pourrait-on le faire graphiquement en notant le fait que le numérateur et le dénominateur sont une paire de paraboles symétriques par rapport au $x$ axe, mais je ne sais pas comment continuer.

Merci!

Answer 1

Laissez le maximum de $f(x) = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ être $m$. Ensuite:

$$x^2-3x+4 = mx^2 + 3mx + 4m$$ $$(m-1)x^2 + (3m+3)x + (4m - 4) = 0$$

Nous voulons que cette équation n'ait qu'une seule racine réelle (une double racine), donc: $$\Delta = 0 \Rightarrow (3m+3)^2-4(m-1)(4m-4) = 0.$$

Un processus similaire pour le minimum ($n$) donne la même équation, en la multipliant par $-1$ ne change pas les valeurs de $m$. Par conséquent, les valeurs maximale et minimale sont données par cette équation.

Answer 2

$$\dfrac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=1-\dfrac{6x}{x^2+3x+4}=1-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}$$

Maintenant si $x>0, x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4$

$\implies\dfrac1{x+\dfrac4x+3}\le\dfrac17\implies-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}\ge-\dfrac67$

Si $x<0, x=-y, y>0, x+\dfrac4x=-\left(y+\dfrac4y\right)$

Pouvez-vous le prendre d'ici?

Answer 3

Indice que nous avons $$\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=y$$ $$x^2(y-1)+x(3y+3)+4y-4=0$$définir le discriminant supérieur ou égal à zéro

Answer 4

Ils n'ont pas précisé que le calcul ne devait pas être utilisé, mais j'étais curieux de savoir si cela pouvait être résolu de manière plus simple - Monocerotis 20 novembre à 8h19

merci mec, tu m'as sauvé de beaucoup de différenciation et de substitution - Monocerotis 20 novembre à 8:46

Le moyen le plus simple de résoudre votre problème consiste à utiliser le calcul:

En appliquant la règle du quotient , vous obtenez:$y'(x)=(\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4})'=\frac{(2x-3)(x^2+3x+4)-(2x+3)(x^2-3x+4)}{(x^2+3x+4)^2}$.

Après avoir mis la condition $y'(x)=0$ et élargir le numérateur de $y'(x)$, vous obtenez:

$x^2-4=0$, dont les solutions sont:

$x_1=2$ et $x_2=-2$.

En conclusion:

$y_{max}=7$ (pour $x=-2$) et $y_{min}=\frac{1}{7}$ (pour $x=2$).