Ada berapa empat digit angka yang tidak mengandung nol dan perkalian digitnya habis dibagi 7?

Question

Saya melihat sebuah pertanyaan di buku matematika saya, sepertinya sangat sepele, dikatakan bahwa:

Ada berapa empat digit angka yang tidak mengandung nol dan perkalian digitnya habis dibagi 7?

Saya memikirkan:

(keempat digit angka tidak mengandung nol) minus (keempat digit angka tidak mengandung 7 dan 0)

untuk menemukan keempat digit angka yang tidak mengandung nol dan perkalian dari empat digitnya habis dibagi 7.

Kemudian $(9^4)-(8^4)=2465$. Bagaimanapun jawabannya adalah$4904$. Apa yang saya lewatkan?

Answer 1

Jawaban pertama Anda benar sehubungan dengan pernyataan yang Anda berikan, memang:

Membiarkan $(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. Begitu$A = 1000a+100b+10c+d $ adalah angka empat digit.

Apalagi, $a\cdot b \cdot c \cdot d $ habis dibagi $7$, jika dan hanya jika, faktorisasi prima mengandung setidaknya satu kali $7$ jadi, jika dan hanya jika, setidaknya satu dari $A$digit sama dengan $7$. Oleh karena itu jawabannya adalah$9^4-8^4 = 2465$ seperti yang Anda katakan.

Namun jika Anda mencari bilangan dari empat digit angka sehingga hasil kali dari digitnya habis dibagi$7$ jawabannya adalah $4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. Anda dapat memeriksanya: untuk nomor empat digit$A$ agar hasil kali dari digitnya habis dibagi $7$, itu harus mengandung $0$ atau $7$.

Membiarkan $A = 1000a+100b+10c+d$ dimana $0\leq a,b,c,d \leq 9$ adalah bilangan bulat dan $a \neq0$.

Jika $a=7$ maka Anda dapat memiliki semua kombinasi yang memungkinkan $b,c$ dan $d$. Jadi, itu memberi Anda$10^3$ pilihan.

Jika $a \neq 7$, lalu Anda mencari nomornya $n$ kemungkinan untuk memiliki setidaknya $b,c$ atau $d$ sama dengan $0$ atau $7$. Terlebih lagi, Anda memiliki tepat$8^3$ kemungkinan untuk $b$, $c$ dan $d$ tidak sama dengan $0$ maupun $7$. Karenanya$n = 10^3-8^3$. Akhirnya hanya ada$8$ kemungkinan untuk $a$ menjadi berbeda dari $7$.

Oleh karena itu nomor yang Anda cari adalah $8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.