Adakah alasan mengapa teknik ini tidak valid?
apa yang $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? Cara sederhana untuk mengevaluasi batas ini adalah dengan menggantinya$0$ untuk $x$ di pembilang untuk mendapatkan
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $
sejak $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ karena satu kuantitas dikurangkan dari kuantitas yang sama adalah 0. Teknik ini menghindari masalah pembagian dengan nol sambil memanfaatkan fakta bahwa $\cos(0)$ dikenal.
Jawaban
Tidak, Anda tidak dapat mengklaim itu $x=0$ di pembilang sementara $x\ne0$ di penyebut!
Menggunakan metode Anda, cara sederhana untuk mengevaluasi batas ini adalah dengan menggantinya $0$ untuk $x$ di penyebut untuk mendapatkan $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ karena pembilangnya bukan nol.
Sebuah counterexample :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ Memang $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, jadi $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$
@ChristinaDaniel Oke, berikut ini adalah contoh balasannya: Perhatikan ekspresinya $\frac{\sin 2x}{x}$ dan biarkan $x$ pergi ke nol: Jawaban untuk batas ini adalah $2$. Sekarang perhatikan ekspresinya$\frac{\sin 2x-0}{x}$ untuk $x$pergi ke nol. Jawaban atas batasan ini masih$2$. Tapi$\sin0=0$ jadi sekarang kita bisa mempertimbangkan ekspresinya $\frac{\sin 2x-x}{x}$, lagi dengan $x$pergi ke nol. Tapi sekarang batas ini$1$. Jadi, ketika Anda melakukan substitusi "parsial", jawabannya berubah. Dengan kata lain, saat Anda mengganti$x$, Anda perlu melakukannya untuk setiap $x$ dalam ekspresi.
Membiarkan $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. Kami ingin menemukan$\lim_{x\to e}f(x)$.
Menggunakan metode yang diusulkan akan menghasilkan jawaban yang salah.
Itu tidak valid.
Anda tidak dapat mengganti variabel dengan konstanta di satu bagian ekspresi tetapi membiarkannya sebagai variabel di bagian lain.
Jika Anda ingin mengestimasi batas dengan mengganti variabel dengan konstanta, Anda harus menggantinya di semua tempat. Jika Anda melakukan itu, Anda bisa$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ dan itu tidak membantu kami sama sekali.
Kita harus berasumsi $x \ne 0$ dan jika kita menggantinya kita harus menggantinya dengan $x = h\ne 0$ dan kami mendapatkan $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$dan kami tidak bisa mengganti$h$ dengan $0$ di atas dan bukan di bawah karena $h$ ISN "T $0$. Dan apapun itu$x$ di pembilangnya adalah, itu $x$ di penyebut harus sama.
.....
Alasan kesalahannya adalah karena sedikit memalsukan di atas $x\approx 0$ cara $\cos x \approx \cos 0$tidak akan berpengaruh banyak. Tapi itu salah. Fudging di bagian bawah membuat perbedaan besar .$\frac 1x \not \approx \frac 10$. Itu tidak-tidak.
Lengkap tidak-tidak.
Dan sama sekali tidak valid.