Aljabar Eksterior dan vektor bebas linier
Seandainya $v_1,\cdots,v_r$ adalah vektor bebas linier di beberapa ruang vektor $V$. Saya ingin mencoba dan menunjukkan itu untuk siapa pun$w \in \bigwedge^p(V)$ bahwa $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ untuk beberapa $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ jika dan hanya jika $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$
Arah ke depan sepele dengan menulis $w$sebagai jumlah dan memperpanjang produk irisan secara linier. Implikasi kedua itulah yang membuat saya kesulitan.
Jika kita berasumsi demikian $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$, maka saya ingin menyimpulkan bahwa saya bisa menulis $w$ dalam bentuk yang sesuai dengan memeriksa bolak-balik, bentuk multi-linier yang dipilih dengan baik dari $V^{p+r}$ ke dalam beberapa ruang vektor sehingga saya dapat menggunakan properti universal dari $\bigwedge^{p+r}(V)$, dan evaluasi peta yang diinduksi di $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ dan dapatkan $0$.
Masalah yang saya alami adalah itu $w$ belum tentu merupakan produk irisan dasar, jadi saya tidak memiliki cara pandang kanonik untuk menganggapnya sebagai elemen $V^p$. Setiap ide untuk arah mundur ini akan sangat dihargai.
Jawaban
Membiarkan $\{e_1,\ldots, e_k\}$ menjadi dasar dari $V$ seperti yang $v_i=e_i$ untuk $1\le i\le r$. $w\in \bigwedge^p(V) \implies$
$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ Dimana $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ dan saya akan menggunakan $|\alpha|$untuk menunjukkan jumlah elemen di tupel tersebut. Jelas$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$Jadi \ begin {align *} & v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ implies & e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ menyiratkan & \ forall \ alpha \ di P, f_ \ alpha \ neq 0 \ menyiratkan \ ada l_ \ alpha \ leq | \ alpha |, \ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {(Biarkan$l_\alpha$menunjukkan nilai yang paling kecil)} \\ \ implies & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ irisan e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ menyiratkan & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ menyiratkan & w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ jumlah _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0, l_ \ alpha = i} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \ end {align *} Mungkin telah membuat kesalahan di suatu tempat tetapi idenya harus jelas . Jika Anda memiliki notasi yang Anda sarankan untuk saya gunakan untuk kejelasan, jangan ragu untuk berkomentar!