Aljabar linier - Masalah dimensi ruang bagian
Saya menemukan pertanyaan ini dari slide kuliah di bagian aljabar linier GRE dari tes mata pelajaran matematika, dan tidak bisa memahaminya.
Seharusnya $V$adalah ruang vektor nyata berdimensi hingga n. Panggil kumpulan matriks dari$V$ ke dalam dirinya sendiri $M(V)$.
Membiarkan$T∈ M(V)$. Pertimbangkan dua subruang$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ dan $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.
Manakah dari berikut ini yang harus BENAR?
I. Jika $V$ memiliki basis yang hanya berisi vektor eigen $T$ kemudian $U=M(V)$.
II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.
AKU AKU AKU.$\dim(U)< n$.
Saya pikir II pasti salah, tapi saya tidak bisa menemukan kebenaran dari I atau III. Setiap bantuan dihargai!
Jawaban
$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$
1 belum tentu benar. Untuk diambil$n = 2$, dan biarkan $T(e_1) = e_1$ dan $T(e_2) = 2e_2$. Membiarkan$X$ menjadi st $X(e_1) = e_1$ dan $X(e_2) = e_1 + e_2$. Kemudian$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, tapi $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Kemudian$TX \neq XT$.
2 benar. Pertimbangkan peta linier$f: M(V) \to M(V)$ mengirim $X$ untuk $TX - XT$. Lalu kita bisa menulis$W = \im(f)$ dan $U = \ker(f)$. Kemudian dengan teorema rank-nullity,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.
3 belum tentu benar. Untuk diambil$n > 1$ dan $T =$identitas. Kemudian$U = M(V)$ begitu $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.