Analisis kompleks menghitung integral

Question

Saya =$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$ adalah interval antara $\omega_1=0$ dan $\omega_2=1+2\mathrm i$

Bagaimana cara menghitung integral di atas? Saya tidak memiliki proses tentang pertanyaan ini. Saya ` Maaf tentang hal itu.

Answer 1

Terapkan saja definisi: Jika $D\subseteq\mathbb C$, $\gamma:[a,b]\to D$ adalah parametrization dari kurva halus dan $f:D\to\mathbb C$, kemudian

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

Dalam kasus Anda, $\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$ adalah parametrization yang cocok, dan $f(z)=\operatorname{Im}z$. Memasukkan semuanya ke:

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

Saya pikir Anda bisa melakukan sisanya sendiri.