Apa yang dimaksud dengan “karena kesimetrisan koefisiennya, jika $x=r$ adalah nol dari $x^4+x^3+x^2+x+1$ kemudian $x=\frac1r$ juga nol ”

Question

Saya sedang mempelajari jawaban tentang anjak piutang ini $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

Penulis berkata: "Pendekatan aljabar yang lebih bersih adalah memperhatikan bahwa karena simetri koefisien, jika $x=r$ adalah nol dari $x^4+x^3+x^2+x+1$ kemudian $x= {1\over r}$ juga nol "

Dan akhirnya dia menulis $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Pertanyaan $1$: Apa yang dimaksud dengan simetri koefisien?

Pertanyaan $2$: Bisakah kita melakukan pendekatan yang sama untuk $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Saya bertanya karena relevan dengan pertanyaan saya yang lain:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

Answer 1

Daftar koefisien$$x^4+x^3+x^2+x+1$$adalah $(1,1,1,1,1)$, yang simetris (jika dibalik, Anda akan mendapatkan daftar yang sama). Dengan kata lain, ini adalah daftar tipe$(a,b,c,b,a)$. Dan jika$r(\ne0)$ adalah akar dari$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$kemudian$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$dan oleh karena itu$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$terlalu; dengan kata lain,$\frac1r$ juga merupakan akar dari $(1)$. Jadi, kecuali salah satu akarnya$\pm1$ (yang merupakan satu-satunya bilangan yang sama dengan inversnya sendiri), $(1)$dapat ditulis sebagai \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ kiri (r + \ frac1r \ kanan) x + 1 \ kanan) \ kiri (x ^ 2- \ kiri (r '+ \ frac1 {r'} \ kanan) x + 1 \ kanan). \ akhiri {multline}

Khususnya, $x^4-x^3+x^2-x+1$ dapat ditulis sebagai$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$Untuk menemukan $a$ dan $b$, selesaikan sistem$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Untuk menjawab pertanyaan awal, proses berpikir dilakukan sebagai berikut:

(1) Jika $r$ adalah solusi untuk $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, kemudian $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Bagilah kedua sisi dengan $r^4$ Anda mendapatkan $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. Karena itu$1\over r$ juga merupakan solusi.

(3) Oleh karena itu jika $(x-r)$ adalah faktor polinomial $(x-{1\over r})$ juga merupakan faktor.

(4) Oleh karena itu persamaan dapat dituliskan sebagai $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Oleh karena itu dapat ditulis sebagai $(x+ax+1)(x+bx+1)$