Apakah homomorfisme mempertahankan keteraturan subkelompok?

Question

Saya membaca bahwa satu-satunya kemungkinan homomorfisme dari $\mathbb{Z}_7$ untuk $\mathbb{Z}_{12}$ adalah satu-satunya yang memetakan semua elemen $\mathbb{Z}_7$ untuk $\{0\}$. Karena jika ada homomorfisme lain dari$\mathbb{Z}_7$ untuk $\mathbb{Z}_{12}$, itu harus dapat memetakan subkelompok non-sepele dari $\mathbb{Z}_7$, ke subkelompok $\mathbb{Z}_{12}$. Namun, ini berarti$\mathbb{Z}_{12}$ akan memiliki subkelompok pesanan $7$, yang tidak mungkin.

Saya kira apa yang tersirat dalam pernyataan di atas adalah bahwa homomorfisme mempertahankan urutan subkelompok ... tetapi apakah ini benar secara umum?

Answer 1

Itu tidak benar secara umum. Membiarkan$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$ diberikan oleh $f(x)=2x$. Peta$f$ jelas merupakan homomorfisme tetapi tidak mempertahankan tatanan grup itu sendiri.

Saya pikir pernyataan ini berarti, karena hanya subkelompok $\mathbb Z_7$ adalah $\{0\}$ dan kelompok itu sendiri, inti dari homomorfisme non-sepele apa pun $\{0\}$dan homomorfisme non-sepele apapun adalah injektif. Ini berarti$\mathbb Z_7$ isomorfik terhadap citra dirinya sendiri tetapi hal ini tidak dapat terjadi karena citra homomorfisme adalah subkelompok dari $\mathbb Z_{12}$ dan grup ini tidak memiliki subgrup pesanan $7$.