Apakah integrasi dengan rumus bagian $\int f'g = - \int fg'$ Berlaku untuk fungsi berkelanjutan yang didukung secara kompak dari variasi terbatas?
Asumsikan bahwa $f:\mathbb R \to \mathbb C$ adalah fungsi berkelanjutan dari variasi terbatas dengan dukungan dalam $[-T,T]$. Kami tahu itu$f$dapat dibedakan hampir di semua tempat. Selanjutnya, biarkan$g \in C^\infty(\mathbb R)$dibatasi. Apakah integrasi dengan rumus bagian$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ benar?
Jawaban
Membiarkan $T > 1$ dan biarkan $f = \chi_{[0,1]}$ menjadi fungsi karakteristik $[0,1]$. Kemudian$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ Di sisi lain, sejak $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$
Jika kita mengerti $f'$ sebagai turunan nilai-ukuran $Df$ dari fungsi BV, lalu $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$, dan $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ yang bertepatan dengan $-\int_{-T}^T f g'$.