Apakah limit barisan operator linier kontinu pada topologi operator lemah lagi merupakan operator linier kontinu?
Dari teorema Banach-Steinhaus kita tahu bahwa jika$(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, di mana$X$adalah Banach dan$Y$ruang bernorma, konvergen dalam topologi operator kuat, maka batasnya dalam topologi operator kuat sekali lagi adalah operator linier terbatas dari$X$ke$Y$.
Sekarang saya sudah membacanya di ruang Hilbert$H$hasil yang lebih kuat berikut ini berlaku: Jika$(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(H)$konvergen dalam topologi operator yang lemah, maka batasnya dalam topologi operator yang lemah lagi-lagi merupakan operator linier terbatas pada$H$.
Mengapa itu penting?$H$adalah ruang Hilbert? Bukankah klaim tetap benar dalam kasus yang dipertimbangkan sebelumnya?$(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, di mana$X$adalah Banach dan$Y$ruang bernorma?
Jika$E$adalah ruang bernorma, kita tahu bahwa$B\subseteq E$dibatasi jika dan hanya jika dibatasi secara lemah. Jadi, barisan yang konvergen lemah adalah berbatas norma.
Bukankah seharusnya segera mengikuti itu jika$(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$konvergen lemah, dibatasi dalam topologi operator kuat dan karenanya dibatasi dalam topologi operator seragam oleh teorema Banach-Steinhaus?
Jawaban
Saya pikir apa yang Anda katakan itu benar. Tidak pernah memikirkannya karena saya selalu berasumsi bahwa batas operator yang lemah$A$dari$A_n's$selalu di$A\in \mathfrak L(X,Y)$. Saya menulis argumen hanya untuk meyakinkan diri kita sendiri. Memang, kita hanya perlu berasumsi bahwa$Y$memiliki norma, belum tentu lengkap.
Jadi, mari kita misalkan itu$A_n\overset{\text{wo}}{\to}A$dalam topologi operator yang lemah di mana$A:X\to Y$adalah operator linier, tidak harus dibatasi. Konvergensi dalam topologi operator yang lemah dijelaskan oleh:$h(A_n x)\to h(A x)$untuk setiap$x\in X$dan$h\in Y^*$. Ini menyiratkan bahwa himpunan$\{A_n x: n\in \mathbb{N}\}$dibatasi lemah di$Y$, maka ia juga terbatas pada$Y$. Oleh Banach-Steinhaus berikut ini$\sup_{n}||A_n||=M<\infty$. Sekarang, untuk$x\in X$dengan$||x||=1$kita punya$$||Ax||=\max_{h\in Y^*,\, ||h||=1}|h(Ax)|$$Jadi, ada beberapa$||h||=1$di dalam$Y^*$seperti yang$||Ax||=|h(Ax)|$. Menggunakan konvergensi lemah untuk$A_nx$kita berakhir dengan\begin{align} ||Ax||&=|h(Ax)|\\ &=\lim_{n\to \infty}|h(A_nx)|\\ &\leq \underbrace{||h||}_{=1}\liminf_{n\to \infty}||A_n||\cdot \underbrace{||x||}_{=1} \end{align}Karenanya,$||Ax||\leq M$untuk setiap$||x||=1$dan oleh karena itu,$||A||\leq M<\infty$.
Sunting: (Menanggapi komentar)
Keberadaan seperti itu$A$lebih rumit. Untuk memastikan keberadaan seperti itu, kita memerlukan asumsi lain untuk$Y$, karena ada contoh penghitung di sini di mana$X=Y=c_0$. Satu-satunya hal yang wajar yang bisa saya pikirkan ketika saya mencoba membuktikannya adalah bahwa$Y$harus refleksif (dari tidak menjadi ruang Banach, kami langsung menuju refleksivitas: P). Dalam kasus di mana$X=Y=H$adalah ruang angkasa Hilbert, segalanya sedikit lebih mudah karena kami dapat mengidentifikasi$H^*$dengan$H$dan tidak perlu dipusingkan dengan dual kedua.
Argumen dalam kasus di mana$Y$reflektif adalah sebagai berikut:
Seandainya$\lim_{n}\langle A_n x, h \rangle$ada untuk setiap$x\in X$dan$h\in Y^*$. Untuk tetap$x\in X$membiarkan$f_x:Y^*\to \mathbb{R}$didefinisikan oleh$$\langle h, f_x\rangle =\lim_{n\to \infty}\langle A_n x, h\rangle$$Mudah untuk memeriksanya$f_x$adalah fungsional linier dan oleh diskusi sebelumnya juga dibatasi. Berarti,$f_x \in Y^{**}$. Dengan refleksivitas, ada beberapa$y_x\in Y$seperti yang$\langle h, f_x\rangle =\langle y_x, h\rangle$untuk semua$h\in Y^*$. Sekarang, mari$x\overset{A}{\longmapsto} y_x$. Sekarang, mudah untuk memeriksanya$A:X\to Y$adalah operator linier. Dengan diskusi sebelumnya juga dibatasi.