Apakah semua set memiliki endomap yang kaku?

Question

Membiarkan $X$menjadi satu set. Dua endomaps$f,f':X\to X$bersifat isomorfik jika ada bijection$g:X\to X$ seperti yang $f'=g\circ f\circ g^{-1}$. Sebuah perhiasan$g:X\to X$ memuaskan $f=g\circ f\circ g^{-1}$disebut automorfisme dari $f$. Identitas$X$adalah automorfisme sepele dari$f$. Endomap kaku jika tidak mengakui automorfisme non-sepele.

Apakah semua set memiliki endomap yang kaku?

Jelas, adanya endomap kaku dari himpunan tertentu $X$ hanya bergantung pada kardinalitas $|X|$ dari $X$.

Kami mengklaim:

Jika $|X|\le2^{\aleph_0}$, kemudian $X$ memiliki endomap yang kaku.

Bukti:

Membiarkan $X$ menjadi satu set kardinalitas paling banyak $2^{\aleph_0}$, dan mari kita tunjukkan itu $X$ memiliki endomap yang kaku $f$. Kita bisa berasumsi seperti itu$X$ tidak kosong.

Jika $X=\{1,\ldots,n\}$ dengan $n\ge2$ kami mengatur $f(i)=\max\{1,i-1\}$. Jika$X=\mathbb N$ kami mengatur $f(i)=\max\{0,i-1\}$.

Sekarang asumsikan $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Kami menulis$|X|$ untuk kardinalitas $X$.)

Membiarkan $I$ menjadi himpunan kelas isomorfisme dari endomaps kaku $\mathbb N$. Kami mengklaim

(1) $|I|=2^{\aleph_0}$.

Mari kita tunjukkan bahwa (1) menyiratkan itu $X$memiliki endomap yang kaku. Kita bisa berasumsi$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ dimana $\bigsqcup$ berarti "persatuan diskrit", di mana $J$ adalah kardinalitas $|X|$ kumpulan endomaps kaku non-isomorfik dari $\mathbb N$, dan dimana $X_j=\mathbb N$ untuk semua $j\in J$. Untuk setiap$j$ membiarkan $f_j$ menjadi peta akhir $X_j$ dari tipe $j$. Kemudian$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (notasi jelas) adalah endomap kaku dari $X$.

Hanya tinggal membuktikan (1).

Membiarkan $X_0,X_1,\ldots$ menjadi subset terbatas tidak kosong dari $\mathbb N$ seperti yang:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

Untuk $n\ge1$ membiarkan $f_n:X_n\to X_{n-1}$ menjadi peta yang seratnya memiliki kardinalitas yang berbeda, biarkan $f_0$ menjadi satu-satunya peta akhir $X_0$, dan definisikan $f:\mathbb N\to\mathbb N$ oleh $f(x)=f_n(x)$ jika $x\in X_n$.

Maka mudah untuk melihatnya $f$ kaku, dan kita memiliki kontinum-banyak kelas isomorfisme dari endomaps semacam itu $\mathbb N$.

Answer 1

Pertanyaan itu dijawab oleh YCor di MathOverlow.

Saya ingin memposting jawaban wiki komunitas yang hanya berisi kalimat di atas, tetapi perangkat lunak mengubahnya menjadi komentar. Saya mencoba lagi setelah menambahkan kalimat sekarang dan kutipan dari jawaban YCor berikut:

"... di sana ada (untuk $X\neq\emptyset$) struktur pohon yang berakar $X$yang kelompok automorfismenya sepele. Memang, mengabulkan ini, dan menunjukkan$v_0$ akar, untuk simpul $v$ menetapkan $f(v)$ sebagai $v_0$ jika $v_0=v$, dan sebagai simpul unik di $[v_0,v]$ pada jarak 1 sampai $v$jika tidak. Kemudian$f\in X^X$ dan pemusatnya di $\mathrm{Sym}(X)$ adalah grup automorfisme dari pohon berakar yang sesuai, yang direduksi menjadi $\{\mathrm{id}_X\}$. "