Apakah set yang dapat dihitung secara rekursif membentuk cakupan untuk $\mathbb{N}$? Jika ya, kondisi saturasi tambahan apa yang terpenuhi?

Aug 17 2020

Himpunan yang dapat dihitung secara rekursif adalah kumpulan himpunan bagian dari $\mathbb{N}$, yang definisinya terkenal dan dapat ditemukan di Wikipedia di sini . Kemarin, saya kebetulan menemukan definisi "Ruang Topologi Umum", di sini (definisi 2.2.1) (selanjutnya disebut sebagai GTS). Definisi ini sangat luas, dan saya meminta pembaca untuk memeriksa tautannya, tetapi demi teks pertanyaan; tiga kali lipat$(X, Op_X, Cov_X)$, dengan satu set $X$, kumpulan set terbuka $Op_X\in 2^X$, dan penutup yang dapat diterima $Cov_X\in 2^{2^X}$ (yang terakhir ini membedakan GTS dari topologi biasa; serikat pekerja tidak sembarangan melainkan dibatasi $Cov_X$) membentuk GTS jika tripel memenuhi beberapa kondisi, A1 hingga A8.

Kami kemudian dapat memeriksa apakah triple $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$ membentuk ruang seperti itu (di mana $RE$ adalah kumpulan himpunan yang dapat dihitung secara rekursif, dan $Cov_{RE}$ adalah koleksi koleksi $C$ dari $RE$ elemen seperti itu $C$itu sendiri secara rekursif dapat dihitung [1]). Ternyata tidak: kondisi A7 dan A8 (saturasi [2] dan aksioma keteraturan) gagal untuk triple ini.

Langkah selanjutnya di sini adalah untuk mempertimbangkan apa yang terjadi jika kita mengabaikan kondisi kegagalan tersebut, atau, dengan kata lain, untuk lebih menggeneralisasi GTS. Teks yang sama yang menyajikan definisi GTS menjelaskan bahwa definisi tersebut terkait dengan topologi Grothendieck, tetapi di sini kami menemui hambatan; sementara definisi GTS dijelaskan dengan bahasa teori himpunan biasa, topologi Grothendieck sejauh yang saya tahu, adalah sebuah konsep yang berakar dalam pada Teori Kategori, yang bahasanya saya masih jauh dari pemahaman. Namun demikian, seseorang dapat menavigasi ncatlab dan mencapai definisi Situs, di sini , yang merupakan kategori bersama dengan Cakupan, sesuatu yang didefinisikan di sini. Pemahaman saya adalah bahwa cakupan adalah definisi paling umum dalam konteks ini, dan yang mendapatkan topologi Grothendieck (pra) dengan memberlakukan ketentuan tambahan pada cakupan (saya tidak yakin di mana tepatnya GTS cocok dengan semua ini, tetapi saya yakin situs memang sebuah generalisasi GTS).

Pertanyaan sebenarnya yang saya ajukan di sini dibagi menjadi beberapa bagian:

  1. Apakah saya benar tentang apa itu situs? Artinya, jika kita "tidak mengkategorikan" definisi situs (dan cakupan juga, tentu saja), apakah kita berakhir dengan sesuatu seperti definisi GTS, kecuali dengan kondisi yang lebih sedikit?
  2. Jika demikian, lakukan triple $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$membentuk situs? Artinya, adalah$Cov_{RE}$ memang sebuah liputan untuk $\mathbb{N}$? Misalnya, apakah itu "stabil di bawah kemunduran" (apa pun artinya!)?
  3. Jika itu benar juga, "kondisi saturasi" tambahan mana (lihat di sini ) yang melakukannya$Cov_{RE}$memuaskan? Saya membayangkan itu, tidak cukup untuk menjadi topologi Grothendieck yang tepat, tetapi mungkin cukup untuk pretopologi?

[1] - Penyalahgunaan bahasa dilakukan ketika dikatakan bahwa "$C$ dapat dihitung secara rekursif "(dapat diharapkan $C\in RE$ dari kalimat ini saja, tetapi sebenarnya $C\in 2^{RE}$dalam kasus khusus ini); bagi mereka yang tidak nyaman dengannya, cara yang setara untuk mendefinisikan$Cov_{RE}$adalah sebagai berikut. Pertama, perbaiki$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, penghitungan RE itu sendiri. Kemudian$Cov_{RE}$ aku s $\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$, yaitu, koleksi $C$ dari elemen RE milik $Cov_{RE}$ jika ada $S\in RE$ sedemikian rupa sehingga bisa dipetakan $\phi$ lebih $S$ dan dapatkan $C$ hasilnya.

[2] - Perhatikan bahwa "aksioma kejenuhan" di sini adalah khusus untuk GTS, definisi terkait teori kategori lebih lanjut dalam pertanyaan memiliki kondisi kejenuhan sendiri, berganda.

Jawaban

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 07:29

Mari kita anggap kita berurusan dengan himpunan yang dipesan sebagian yang sewenang-wenang $(P, \leq)$. Dalam kasus ruang topologi tertentu,$P$ adalah beberapa kumpulan himpunan bagian dari $X$, ruang yang mendasarinya. Kami bisa mempertimbangkan$P$ sebagai kategori dengan cara kanonik sebagai berikut: himpunan objek adalah $P$, paling banyak ada satu panah di antara masing-masing $x, y \in P$, dan ada panah di antaranya $x$ dan $y$ iff $x \leq y$.

Saringan pada suatu benda $x$ dapat didefinisikan sebagai koleksi $S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$ yang memenuhi properti itu untuk setiap $(f, z) \in S$ dan setiap $g : w \to z$, kita punya $(f \circ g, w) \in S$.

Saat kita berbicara tentang himpunan yang dipesan sebagian, komponen pertama dari $(f, z)$ dimana $f : z \to x$ tidak menambahkan informasi apa pun (selain fakta bahwa $z \leq x$) karena paling banyak ada satu $f : z \to x$. Dengan demikian, kita dapat secara ekuivalen mempertimbangkan saringan$S$ di $x$ untuk menjadi koleksi $S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$ st untuk semua $z \in S$, untuk semua $w \leq z$, $w \in S$. Inilah yang saya sebut PO-sieve.

Diberikan saringan $S$ di $y$ dan panah $f : x \to y$, kami dapat mendefinisikan $f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$ dan $f \circ g \in S\}$, saringan $y$.

Sejalan dengan itu, diberi PO-sieve $S$ di $y$ dan beberapa $x \leq y$, kami dapat mendefinisikan $S_x = \{z : z \leq x$ dan $z \in S\}$, saringan $x$.

Topologi Grothendieck pada suatu kategori $C$ adalah pemetaan dari setiap objek $x \in C$ untuk sebuah keluarga $F_x$ dari saringan $x$ yang memenuhi beberapa aksioma.

Sejalan dengan itu, Topologi PO-Grothendieck pada poset $P$ harus ada pemetaan dari setiap elemen $x \in P$ untuk sebuah keluarga $F_x$ saringan PO yang memenuhi aksioma yang sesuai.

Aksioma 1 dari Topologi Grothendieck: untuk setiap $x \in C$, kita punya $\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.

Sesuai Aksioma 1 dari PO-Grothendieck Topology: untuk setiap $x \in P$, kita punya $\{z : z \leq x\} \in F_x$.

Aksioma 2 dari Topologi Grothendieck: untuk setiap $f : x \to y$, untuk setiap saringan $S \in F_y$, kita punya $f^*(S) \in F_x$.

Sesuai Aksioma 2 dari PO-Grothendieck Topology: untuk setiap $x \leq y$ dan untuk setiap PO-sieve $S \in F_y$, kita punya $S_x \in F_x$.

Aksioma 3 dari Topologi Grothendieck: misalkan kita punya $S \in F_x$. Dan misalkan kita memiliki saringan$P$ di $x$ seperti itu untuk semua $(f, z) \in S$, $f^*(P) \in F_z$. Kemudian$P \in F_x$.

Sesuai Aksioma 3 dari PO-Grothendieck Topologi: misalkan kita punya $S \in F_x$. Dan misalkan kita memiliki saringan PO$P$ di $x$ st untuk semua $z \in S$, $P_z \in F_z$. Kemudian$P \in F_x$.

Bagaimana ini berhubungan dengan Ruang Topologi Umum? Misalkan diberi ruang umum seperti itu. Set yang dipesan sebagian$P$ adalah himpunan buka yang diurutkan oleh $\subseteq$. Misalkan diberi beberapa koleksi$C$set terbuka. Menetapkan$f(C) = \{U $ Buka$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. Perhatikan bahwa untuk setiap itu$C$, $f(C)$adalah saringan PO. Kemudian diberikan$U$ terbuka, kami dapat mendefinisikan $F_U = \{f(C) : C \in cov_X$ dan $\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.

Mari kita verifikasi bahwa ini memberi kita topologi PO-Grothendieck.

Aksioma 1: ini mengikuti fakta bahwa $\{U\} \in cov_X$ untuk semua $U$ - yaitu, mengikuti aksioma A3.

Aksioma 2: ini mengikuti aksioma A5.

Aksioma 3: ini mengikuti aksioma A6.

Akhirnya, kami beralih ke contoh Anda tentang $\mathbb{N}$dengan set enumerasi rekursif "membuka" dan enumerasi rekursif "menutupi" set enumerasi rekursif. Karena ini memenuhi aksioma A3, A5, dan A6, ini membentuk topologi PO-Grothendieck.