Bagaimana cara mengganti baris dalam matriks L saat mendekomposisi matriks A menjadi PA = LU?

Aug 19 2020

Temukan matriks permutasi $P$, matriks segitiga bawah $L$ dan matriks segitiga atas $U$ seperti yang $$ PA=LU $$ Diberikan $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 \\ 3 & 7 & 11 & 16 & 21 & 27 \\ -4 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$

Saya datang sejauh ini

$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ dan $$ L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Langkah terakhir yang harus saya lakukan adalah mengubah baris keempat dengan yang ketiga tetapi saya tidak tahu persis bagaimana cara mengubah entri di matriks segitiga bawah L. Adakah yang bisa menjelaskan apa sebenarnya yang harus saya alihkan ke L?

Jawaban

2 Ian Aug 19 2020 at 16:21

Jawaban panjang: anggaplah hasil eliminasi maju sebagai persamaan matriks bentuk$U=E_r P_r E_{r-1} P_{r-1} \dots E_1 P_1 A$ dimana $E_i$ adalah matriks "eliminasi" (membersihkan kolom di bawah $i$poros th dengan cara biasa) dan $P_i$ adalah salah satu matriks permutasi yang memindahkan $i$poros ke dalam $i$baris ke-5 atau identitasnya (jika Anda tidak melakukan pertukaran pada langkah itu). Matriks eliminasi berbentuk segitiga bawah, dan tetap seperti itu jika dikalikan. Tetapi ketika matriks permutasi dimasukkan, mereka berhenti menjadi segitiga bawah.

Jadi sekarang Anda biasanya ingin membalik hasil perkalian itu $E_i P_i$ untuk mengisolasi $A$. Jika Anda menyatukan semuanya, kebalikannya tidak akan menjadi segitiga bawah, yaitu in$PA=LU$Anda menginginkannya. Jadi yang Anda lakukan adalah menulis ulang produk$E_r P_r \dots E_1 P_1$, sehingga semua matriks permutasi berada di kanan dan semua matriks eliminasi di sebelah kiri. Untuk melakukan itu, cukuplah memikirkan cara menulis$PE$ sebagai $E' P'$.

Ini bisa dilakukan dengan $P'=P$ dan $E'=P E P^{-1} = P E P^T$, karena mudah untuk diperiksa: $E' P'=P E P^{-1} P=PE$. Ini$E'$ Pengambilan bentuk ini adalah contoh situasi umum dalam aljabar, di mana konjugasi digunakan untuk menerapkan operasi "dalam konteks" dari operasi lain yang dapat dibalik yang telah diterapkan.

Dengan melakukan itu berulang kali, Anda dapat memindahkan semua matriks permutasi ke kanan. Hasilnya terlihat seperti ini:

$$U=E_r (P_r E_{r-1}^T P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T) \\ \cdot P_r \cdot \dots \cdot P_1 \cdot A.$$

Jadi sekarang

$$L^{-1}=E_r (P_r E_{r-1} P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T)$$

Secara singkat, apa artinya ini? Artinya untuk mendapatkan yang benar$L^{-1}$, Anda harus memindahkan entri nontrivial dalam "dihitung $L^{-1}$"berdasarkan semua pertukaran baris yang Anda lakukan setelah entri tersebut dihitung. Pembalik$L^{-1}$ pada akhirnya masih berfungsi sama (Anda cukup membalik tanda pada entri nontrivial).

Jadi dalam contoh Anda, efek bertukar baris $3$ dan $4$ adalah yang Anda perbarui $L$ dengan menukar peran indeks $3$ dan $4$, yang menghasilkan:

$$L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Perhatikan bahwa ini tidak sama dengan hanya bertukar baris$3$ dengan baris $4$.

Setelah itu Anda selesai, dalam contoh khusus ini, tetapi jika tidak, maka Anda tidak akan bertukar$3$ dengan $4$ di langkah selanjutnya.

Jawaban singkatnya: Matriks akhir Anda$P$mencapai semua pertukaran baris yang Anda lakukan. Mendapatkan$L$, setiap kali Anda melakukan pertukaran baris yang akan dicapai dengan mengalikan di sebelah kiri dengan matriks permutasi $P$, Anda mengganti arus Anda $L$ dengan $P L P^T$, yang berarti Anda melakukan permutasi tersebut pada baris dan kolom saat ini $L$ (tapi tidak di final $L$).

1 Moo Aug 19 2020 at 19:08

Dengan menggunakan pengurangan baris, kami tiba di

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Sebagai pendekatan alternatif untuk penulisan yang sangat baik oleh @Ian (+1), Anda dapat membalik langkah-langkah pengurangan baris, termasuk pertukaran, seperti $$A = E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}U$$

Ini menghasilkan

$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 &0 & 1 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Kami melihat itu $L$ bukan segitiga bawah dan kita hanya perlu menukar baris tiga dan empat, menghasilkan

$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\3 & 1 &0 & 1\end{pmatrix}$$

Swap itu membutuhkan matriks permutasi

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0\end{pmatrix}$$

Sekarang kami dapat memverifikasi

$$PA = LU$$

Anda juga dapat memverifikasi itu $$A = PLU = P^T LU = P^{-1} LU$$

Lihat, misalnya, Bagaimana faktorisasi LU dapat digunakan dalam matriks non-persegi?