Bagaimana $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ skala dengan $N$ ( $\{\cdot\}$ menunjukkan bagian pecahan)
Membiarkan $x$ menjadi bilangan irasional (saya akan senang dengan jawaban atas pertanyaan untuk pilihan tertentu seperti $\pi$). Berdasarkan
Untuk $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, set $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ padat $[0,1)$,
set $\{nx\}$ padat $[0,1]$, dimana $\{\cdot\}$adalah bagian pecahan. Jadi,$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ menyatu dengan $0$ untuk $N\rightarrow\infty$. Apakah ada yang diketahui tentang penskalaan seri ini, seperti$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$
Jawaban
Umumnya kita tidak bisa berbicara lebih banyak tentang $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ dari $m(N) \to 0$. Sedangkan untuk setiap irasional$x$ ada sangat banyak $N$ dengan $m(N) < \frac{1}{N}$, untuk setiap fungsi $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ dengan $f(N) \to 0$ kita dapat menemukan (tak terhitung banyak) irasional $x$ dengan $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ Dalam pengertian itu, $m_x$ bisa cenderung $0$lambat sekali. Tapi secara heuristik perilaku tipikal adalah itu$m_x(N)$ tidak cenderung $0$ jauh lebih lambat dari $\frac{1}{N}$.
Untuk mengerti $m$kita dapat menggunakan pemuaian pecahan lanjutan (khususnya, pemuaian pecahan lanjutan sederhana) dari$x$.
Karena, sejauh yang saya tahu, kita tidak tahu banyak tentang pemuaian pecahan lanjutan $\pi$ (kami benar-benar "mengetahui" beberapa ribu juta istilah pertama, tetapi bukan apa yang terjadi setelah itu), kami tidak dapat (belum) mengesampingkan itu $m_{\pi}(N)$ cenderung $0$ sangat sangat lambat. Tapi kami berharap tidak.
Di sisi lain, untuk setiap $x$ yang ekspansi pecahan lanjutannya telah membatasi kuosien parsial (disebut "koefisien" atau "istilah" dalam artikel wikipedia), khususnya untuk semua irasional kuadrat (ini memiliki pecahan lanjutan berkala), kami memiliki $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$, jadi hal-hal seperti $m_{\sqrt{2}}$dapat dianalisis dengan cukup baik. Ekspansi fraksi lanjutan dari$e$ memiliki quotients parsial tak terbatas, tetapi memiliki pola reguler yang diketahui, dan kami punya $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.
Mari kita lihat pecahan lanjutan (sederhana). Pengindeksan dimulai dengan$0$, itu $k^{\text{th}}$ konvergen ke irasional $x$ dengan ekspansi fraksi lanjutan $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ akan dilambangkan dengan $p_k/q_k$, itu $k^{\text{th}}$ kecerdasan lengkap $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ oleh $\alpha_k$.
Pengamatan penting pertama adalah bahwa konvergensi lebih kecil dan lebih besar dari $x$, kita punya $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ dengan $0 < \delta_k < 1$. (Kami memiliki batas atas yang jauh lebih baik$\delta_k$, tetapi di sini saya hanya peduli dengan tanda perbedaannya.)
Fakta penting lainnya adalah bahwa konvergensi memberikan perkiraan rasional terbaik $x$ dalam arti yang sangat kuat:
Membiarkan $k > 1$. Kemudian untuk semua bilangan bulat positif$q < q_{k+1}$ dan semua bilangan bulat $p$ kita punya $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ dengan kesetaraan jika dan hanya jika $p = p_k$ dan $q = q_k$.
Kami mendefinisikan angka positif $\varepsilon_k$ oleh $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. Dari$(1)$ itu mengikuti itu $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ untuk semua $k \geqslant 1$. Pengulangan untuk konvergensi bersama dengan$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ hasil \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} Jadi kita punya $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ setidaknya untuk semua $N$ sedemikian rupa sehingga ada $k \geqslant 1$ dengan $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$, dan tentu saja ada begitu banyak (setidaknya satu untuk masing-masing $k$).
Di sisi lain, antara $q_{2k+1}$ dan $q_{2k+2}$hal buruk bisa terjadi. Pertama kita perhatikan bahwa kita selalu punya$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ dan $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ untuk $k \geqslant 1$. Juga untuk$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ kita punya $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ Kami melihat bahwa penyebutnya $q_{2k} + rq_{2k+1}$ menghasilkan minimum baru untuk $\{n x\}$ (sebenarnya belum, kita juga perlu mempertimbangkan lainnya $q$ antara $q_{2k+1}$ dan $q_{2k+2}$, tapi menulis seperti itu $q$ dalam bentuk $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ dengan $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ dan $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ kita bisa gunakan $(1)$ untuk melihatnya $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ kapan $s \neq 0$), namun menurun agak lambat.
Sekarang anggaplah hasil bagi parsial $a_{2k+2}$ sangat besar, dan pilih $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. Kemudian untuk$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ kita punya $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ dan $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (sejak $q_{2k+1} > 2$ untuk $k \geqslant 1$). Diberikan apapun$f \in o(1)$ dan bagian awal $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ dari pecahan lanjutan, kita selalu bisa memilih $a_{2k+2}$ begitu besar $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ mengatakan.
Jadi $m_x$ bisa cenderung $0$ perlahan jika dilanjutkan pecahan $x$ memiliki banyak quotients parsial indeks-genap (quotients parsial indeks-ganjil akan masuk ke dalam gambar jika Anda mempertimbangkan $\max \:\{nx\}$ atau setara $\min \:(1 - \{nx\})$ bukan atau sebagai tambahan $\min \: \{nx\}$).
Biasanya, bagaimanapun, hasil pembagian parsial kecil dibandingkan dengan penyebut dari konvergensi, dan jika kita memiliki $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ untuk semua (cukup besar) $k$, maka kita punya $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ Untuk $x$ dengan quotients parsial terbatas yang bisa kita ambil $\varphi$ sebagai fungsi konstan, dan untuk $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ kita punya $a_n \ll n$ sementara $q_n \gg c^n$ untuk beberapa $c > 1$, darimana $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.
Untuk $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ quotients parsial $a_2 = 15$ dan $a_4 = 292$ relatif besar terhadap indeks, tetapi tidak terlalu besar dibandingkan penyebutnya $q_1 = 7$ dan $q_3 = 113$. Di antara yang pertama$20000$nilai-nilai sebagian ada beberapa yang besar , tetapi relatif terhadap penyebut yang sesuai$q_k$namun mereka sangat kecil. Tentu saja kami tidak dapat menarik kesimpulan apapun dari itu, tetapi sejauh ini, data yang kami miliki tidak menunjukkan hal itu$m_{\pi}$ cenderung $0$ perlahan.