Berapa angka aljabar p-adic?

Question

"Diberikan $p$, apa saja elemennya $\mathbb{Q}_p$ aljabar berakhir $\mathbb{Q}$? "

Saya secara berkala bertanya-tanya ini dan menemukan pertanyaan mathoverflow ini yang sepertinya menanyakan hal yang sama. Jawaban yang dipilih sepertinya tidak menjawab pertanyaan itu (yang bisa saya lihat), dan googling "bilangan aljabar p-adic" mengembalikan pertanyaan itu sebagai hasil teratas. Pada saat itu saya menyerah dan menunggu sampai saya lupa dan mencoba lagi. Jadi kali ini saya akan bertanya:

Apakah Anda mengetahui karakterisasi (lebih nyaman) dari $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ atau memiliki referensi untuk "$p$-bilangan aljabar -adic? "

Saya tidak yakin ada karakterisasi "bilangan aljabar nyata" yang jauh lebih memuaskan daripada "bilangan aljabar nyata", tetapi nilai absolut p-adik secara inheren lebih "aljabar" daripada nilai absolut nyata, dan terdapat perbedaan seperti $p$ bervariasi, jadi apa sajakah itu?

Answer 1

Membiarkan $O_\overline{\Bbb{Q}}$ menjadi bilangan bulat aljabar, ambil beberapa ideal maksimal $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ mengandung $p$, biarkan $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, kemudian $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ dan $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ adalah (isomorfik ke) subbidang dari $\overline{\Bbb{Q}}$ diperbaiki oleh $G$.

Sama halnya, biarkan $S$ menjadi himpunan ekstensi aljabar (derajat tak terbatas) $K/\Bbb{Q}$ untuk beberapa ideal maksimal $\mathfrak{p}\subset O_K$ seperti itu $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Kemudian$\Bbb{Z}_p$ adalah (isomorfik untuk) penyelesaian dari $O_K$ di $\mathfrak{p}$, dan $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ adalah (isomorfik ke) setiap elemen maksimal dari $S$.