Bisa sejumlah $n$ kuadrat diekspresikan sebagai jumlah dari $n/2$ kotak?
Jawaban untuk kasus khusus ketika kuadratnya adalah Pythagoras rangkap tiga adalah ya. Tripel Pythagoras adalah kasus yang terendah$n$, yaitu $2$. Dua tripel Pythagoras dapat digabungkan untuk membentuk jumlah$4$ kotak seperti dalam $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. Menggabungkan (menambahkan) Pythagoras tiga kali lipat, kita dapat membuat jumlah kuadrat dengan sembarang$n$.
Pertanyaan: Apa yang terjadi dalam kasus umum ketika pasangan kotak yang terlibat bukan tripel Pythagoras atau jika tidak semua pasangan adalah Pythagoras?
Jawaban
Jawabannya ya untuk (genap)$n \geq 8$dan tidak untuk (genap)$n \leq 7$.
Jika $n \geq 8$ lalu jumlah $n$kuadrat adalah jumlah dari empat kuadrat menurut teorema kuadrat empat Lagrange. Sekarang, jika$n/2$ lebih besar dari 4, Anda dapat menyelesaikan penjumlahan Anda dengan menambahkan cukup banyak suku yang sama dengan $0^2$.
Untuk $4 \leq n \leq 7$ catat itu $7$ dapat ditulis sebagai jumlah $n$ kotak tetapi tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari $n/2$ kotak.
Untuk $2 \leq n \leq 3$ catat itu $5$ adalah jumlah dari $n$ kuadrat tetapi bukan jumlah $n/2$ kotak.
Dari teorema empat kuadrat Lagrange, kita mendapatkan bahwa setiap bilangan asli dapat diekspresikan sebagai jumlah dari empat kuadrat sempurna. Karena kami selalu bisa menambahkan$0^2$ tanpa mengubah penjumlahannya, ini berarti bahwa setiap bilangan asli dapat ditulis sebagai penjumlahan $n$ kotak untuk apa saja $n\geq4$.
Masalah Anda bertanya apakah diberikan itu $M$ adalah jumlah dari $n$ kotak, dapatkah itu ditulis sebagai jumlah dari $\frac{n}{2}$kotak. Karena ini membutuhkan itu$n$ menjadi genap, kami memiliki empat kasus:
Kasus 1: $n=2$
Dalam hal ini, mengingat itu $M$ adalah jumlah dari dua kotak, itu hanya jumlah dari satu kotak jika kita memiliki rangkap tiga Pythagoras.
Kasus 2: $n=4$
Pada kasus ini, $M$bisa berupa bilangan asli apa pun. Pertanyaannya menanyakan apakah bilangan asli generik dapat ditulis sebagai jumlah dari 2 kotak. Jawaban atas pertanyaan ini berasal dari Teorema Penjumlahan Dua Kuadrat, yang dikreditkan ke Euler, dan mengatakan bahwa sebuah bilangan dapat ditulis sebagai jumlah dari dua kotak jika dan hanya jika faktorisasi prima tidak mengandung bilangan prima yang kongruen.$-1\mod4$ diangkat ke kekuatan yang aneh.
Kasus 3: $n=6$
Dalam hal ini, M bisa berupa bilangan asli apa pun. Pertanyaannya menanyakan apakah bilangan asli generik dapat ditulis sebagai jumlah dari 3 kotak. Dari Teorema Tiga Kuadrat Legendre, jawabannya adalah bahwa sebagian besar, tetapi tidak semua bilangan asli dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga kuadrat. Secara khusus, semua bilangan asli kecuali yang muncul dihttps://oeis.org/A004215 dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga kotak
Kasus 4: $n\geq8$
Dalam hal ini, setiap bilangan asli dapat ditulis sebagai penjumlahan dari $\frac{n}{2}$ kotak, dan oleh karena itu jawabannya adalah ya.
Untuk Kasus 3 dan 4, kami memiliki cukup kelonggaran dalam memilih $n$ kotak yang dapat kita pilih putus yang tidak menyertakan Triples Pythagoras
Saya tidak yakin apakah saya memahami pertanyaannya dengan benar, karena jika ini yang Anda maksud, maka tidak terlalu sulit untuk memberikan contoh tandingan.
Interpretasi saya: Diberikan koleksi $n$ bilangan bulat positif, $\{ a_1, ..., a_n \}$, adalah mungkin untuk menemukan koleksi $n/2$ bilangan bulat positif, katakanlah, $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ seperti yang $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
Jika ini yang Anda maksud, pertimbangkan dulu $n$menjadi bilangan bulat ganjil dan kami selesai. Karena$n/2$ bukan bilangan bulat, pernyataan itu jelas salah.
Sekarang misalkan $n$hanya diperbolehkan untuk menjadi seimbang. Pertimbangkan, katakanlah$n = 2$ dan $a_i = 1$ untuk berdua $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, bukan kuadrat sempurna, dan dengan demikian merupakan contoh berlawanan dari pernyataan tersebut.
Setiap dua tripel Pythagoras dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari empat kotak atau jumlah dari dua kotak.
Contoh: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
atau, dari contoh yang saya tunjukkan di versi pertama saya dari jawaban ini: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
dimana $8$ jumlah kotak dinyatakan sebagai $4$. Saya memberi contoh$4$ nilai yang sama tetapi jumlah genap dari setiap kombinasi $C$-nilai dapat dikurangi menjadi setengah dari angka itu.
Contoh lainnya adalah di sini $10$ jumlah kuadrat sama dengan $5$ jumlah $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
Untuk pertanyaan terakhir Anda, jika kotak tidak diperlukan, ada juga solusi tak terbatas: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ atau $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$