Bukti yang lebih baik dari pertidaksamaan numerik sebesar $e^x$
Ketimpangan itu
$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$
Saya membuktikannya dengan membaginya menjadi 3 kasus: $-3<z<0$, $z=0$ dan $0<z<3$.
Untuk $z=0$, kedua sisi sama.
2 kasus lainnya dilakukan dengan kalkulus. Menetapkan$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ lalu ganti $|x|$ oleh $x$ atau $-x$demikian. Kemudian periksa saja turunannya.
Tapi menurut saya, ini semacam kekerasan, jadi saya bertanya-tanya apakah ada cara yang lebih cepat (lebih pintar) untuk menunjukkannya.
Jawaban
Perhatikan bahwa, jika $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}