Buktikan bahwa tidak ada solusi integer untuk $x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$
Saya telah bergumul tentang masalah ini cukup lama sekarang, bertanya kepada beberapa rekan dan guru saya, dan saya belum menemukan solusinya. Inilah masalahnya:
Buktikan bahwa tidak ada solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut $$x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$$
Inilah yang saya coba:
- Memperluas, memindahkan berbagai hal, memfaktorkan (saya tidak dapat memfaktorkannya menjadi sesuatu yang berguna)
- Memperluas, mengonversi ke persamaan kubik (Terlalu sulit untuk diselesaikan)
- Memperluas, mengubah ke kuadrat, menggunakan rumus kuadrat (saya tidak dapat cukup menyederhanakannya)
Akan lebih bagus jika kalian bisa membantu!
Hormat kami, Anay Aggarwal
Jawaban
Menulis ulang persamaan sebagai $y/x=x(y^2-1)-2y$, kami melihat bahwa kami harus memilikinya $x\mid y$(karena sisi kanan adalah bilangan bulat). Jadi membiarkan$y=xu$ (dengan $x\not=0$), kita mendapatkan
$$u=x(x^2u^2-1)-2xu$$
yang menyiratkan $x\mid u$ dan $u\mid x$, jadi $u=\sigma x$ dengan $\sigma=\pm1$. Tapi ini memberi
$$\sigma x=x(x^4-1)-2\sigma x^2$$
yang menyederhanakan (saat membatalkan file $x$) ke
$$x^4-2\sigma x-1-\sigma=0$$
dan tidak keduanya $x^4-2x-2=0$ maupun $x^4+2x=0$ memiliki akar integer (bukan nol).
Anda tidak bisa melakukannya $x=0$ jadi kalikan dengan $x$ untuk memperoleh $$x^2(y^2-1)=y(2x+1)$$
Kalau begitu baik Anda punya $y=\pm 1$ [atau $y=0$] (yang dapat Anda kecualikan) atau sisi kiri positif.
Sekarang bandingkan istilah dalam $x$ di kedua sisi (hati-hati $2x+1$ mungkin negatif) dan persyaratan dalam $y$ di kedua sisi (dengan perawatan yang sama).
Kami diberikan $x(y^{2}-1)=y\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$ dengan $x,y\in\Bbb Z$. Kehadiran$1/x$ istilah menyiratkan $x\neq0$ dan karenanya $y\neq0$. Mengalikan dengan$x$ memberi $$x^2(y^2-1)=y(2x+1).$$Catat itu $2x+1$aneh. Karenanya$y$ tidak mungkin aneh, karena itu $y^2-1$akan menjadi genap, dan persamaan kita akan menyamakan sebuah genap dengan angka ganjil. Begitu$y$genap. Karenanya$x^2$ adalah genap, dan karena itu demikian $x$. Ini mengikuti itu$y$ habis dibagi $4$. Kemudian$|(y^2-1)/y|=|y-1/y|>3$, sementara $|(2x+1)/x^2|=|2/x+1/x^2|<2$. Akibatnya persamaan kita tidak dapat dipenuhi.
Selamat datang di MSE. Anda bisa memecahkan$y$ menggunakan rumus kuadrat: $$ y = \frac{2x+1\pm\sqrt{4 x^4+4 x^2+4 x+1}}{2 x^2} $$Penghargaan untuk JW Tanner karena telah menyelamatkan jawaban ini. Untuk$x\ge 1$, $4x^4+4x^2+4x+1$ adalah antara $(2x^2+1)^2$ dan $(2x^2+2)^2$, jadi akar kuadratnya bukanlah bilangan bulat. Demikian pula untuk$x\le-1$, itu di antara $4x^4$ dan $(2x^2+1)^2$, dan kami dapat mengesampingkan kasus tersebut $x=0$dalam persamaan aslinya. Maka tidak ada solusi integer.
Kita punya
$$xy^2-x = 2y+\frac{y}{x}$$ $$x^2y^2-x^2=2xy+y$$ $$x^2y^2-x^2-y-2xy = 0$$ Pecahkan sebagai kuadrat dalam $x$
$$(y^2-1)x^2-(2y)x-y = 0$$
Gunakan rumus kuadrat
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^2+(4y^3-4y)}}{2(y^2-1)}$$
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^3+4y^2-4y}}{2y^2-2}$$
Kita dapat memfaktorkan a $2$ mendapatkan
$$x = \frac{y\pm \sqrt{y^3+y^2-y}}{y^2-1}$$
Lihatlah akar kuadratnya, satu-satunya akar rasional adalah $y = 0$ (oleh RRT), tetapi menguji solusi ini, $x = 0$, dan ekspresi pertama memiliki a $\frac{y}{x}$ di dalamnya, dan jelas membaginya dengan $0$ ilegal dalam kasus ini.
Cara lain untuk melihatnya $y = 0$ adalah satu-satunya akar rasional untuk memfaktorkan
$$y^3+y^2-y = y(y^2+y-1)$$
Kemudian $y^2+y-1$ tidak memiliki akar rasional.
Oleh karena itu, tidak ada solusi integer.
Meskipun Anda menyebutkan bahwa membuat grafik tidak benar-benar memberikan bukti, mungkin membantu mengenali di mana hal-hal menarik. Jika kita membuat grafik persamaan di Desmos, kita mendapatkan:
https://www.desmos.com/calculator/tplmejuuj0
Grafik ini memperjelas bahwa tidak ada solusi integer selain $(0,0)$, yang harus kita hilangkan karena kita tidak bisa memilikinya $x=0$. Tapi bagaimana membuktikannya? Saya pikir bukti dengan kontradiksi adalah taruhan terbaik kita.
Menganggap $x, y \in \mathbb Z $. Lalu sisi kiri$x(y^2-1)$ selalu berupa bilangan bulat.
Kami sudah tahu $x \neq 0$
Pertama, pertimbangkan $x = \pm 1$. Kita punya$y^2 - 1 = 3y$ atau $1-y^2=y$. Tidak keduanya$y^2-3y-1$ maupun $y^2+y-1$ memiliki akar rasional (Dengan teorema akar rasional, $y$ hanya bisa $\pm 1$, dan tidak ada pilihan yang memberi kita nol).
Kedua, pertimbangkan $x$adalah bilangan bulat lainnya. Karena itu$2+1/x$bukan bilangan bulat. Karena kita tahu sisi kiri harus berupa bilangan bulat, untuk sisi kanan juga menjadi bilangan bulat,$y$ harus merupakan kelipatan bilangan bulat dari $x$, atau $y=kx, k \in \mathbb Z$. Dalam hal ini kami memiliki:
$$ x(k^2x^2-1) = 2kx +k $$ $$ k^2x^3-x = 2kx+k $$ $$k^2x^3-2kx -x-k = 0 $$
Dengan teorema akar rasional, setiap akar bilangan bulat harus salah satu dari $\{\pm1,\pm k,k^2\}$. Karena tidak ada akar yang membuat ruas kiri sama dengan nol untuk bilangan bulat$k$, tidak ada akar bilangan bulat untuk $|x| > 1$.
Kami telah menghilangkan semua kemungkinan solusi integer untuk $x$. Oleh karena itu tidak ada solusi dengan$x,y \in \mathbb Z$.
Agak rumit, tapi saya harap ini membantu.