Contoh fungsi dengan properti penasaran

Question

Dilambangkan dengan $L^1(0,1)$ ruang fungsi integral Lebesgue pada interval $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Apakah ada fungsinya $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ seperti yang:

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Saya menduga jawabannya positif dan intinya adalah membangun $F$ seperti yang $F$ dan $F'$berperilaku sesuai mendekati nol. Sepertinya cukup rumit. Aku sudah memeriksanya$F$ tidak bisa menjadi polinomial atau fungsi pangkat (sejak saat itu $F'\simeq \frac{F}x$, sehingga kondisi 2 dan 3 tidak dapat berlangsung secara bersamaan).

Saya sangat menghargai petunjuk apapun!

Answer 1

Tidak ada fungsi seperti itu. Pertama tama,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ kapan $a,b\to 0$. Begitu$F$ memiliki batas $c$ pada poin 0. Jika $c\ne 0$, lalu 1) gagal. Begitu$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Lanjut, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Sekarang $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Pertimbangkan dua kasus:

1. $F$ memiliki tanda tetap di dekat 0. Kemudian memilih $a,b$ mendekati 0 kita menyimpulkan dari (1) dan (2) itu $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ bertemu di 0, tetapi ini setara dengan konvergensi $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ yang kita butuhkan.

2. $F$ memiliki banyak angka nol tak terhingga di lingkungan mana pun yang bernilai 0. Kemudian memilih $(a_k,b_k)$ menjadi interval inklusi-maksimal dari set terbuka $\{x:F(x)\ne 0\}$ dan menerapkan (2) untuk $a=a_k,b=b_k$ kami terikat $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ melalui $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Sini$c=b_1$, sebagai contoh.