Dapatkah seseorang mengkarakterisasi antikain maksimal dalam kaitannya dengan kisi distributif?
Ini terinspirasi oleh pertanyaan terbaru Verifikasi antikain maksimal
Dualitas terkenal antara finite posets dan finite distributive lattices memiliki beberapa formulasi yang bagus. Salah satunya ditugaskan ke poset$P$ kisi $\mathscr D\!P$downdeals - nya (saya suka kata ini ditemukan, saya pikir, oleh Freyd). Sebuah downdeal dari$P$ sebuah subset $D\subseteq P$ memuaskan $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Ini adalah kisi distributif (terikat) sehubungan dengan operasi penyatuan dan persimpangan. Sebaliknya dengan kisi distributif hingga$L$ satu menetapkan poset tersebut $\Pi\!L$dari bilangan prima nya . Sebuah elemen$p\in L$ adalah bilangan prima jika $x\land y=p$ menyiratkan $x=p$ atau $y=p$, dan bilangan prima diurutkan berdasarkan pembagian: $p\leqslant q$ iff $p$ membagi $q$, dilambangkan $p|q$ yaitu $\exists x\ q=p\land x$, atau setara $p\land q=q$. Ini sepertinya terlalu rumit karena membalik urutan yang diwarisi$L$, tetapi ini hanya masalah kenyamanan: Anda dapat selalu beralih ke semua jenis definisi yang setara, seperti membalik urutan $P$ atau dalam $L$, mengganti bilangan prima dengan bilangan prima gabungan, atau meneruskan ke pelengkap downdeals, yang merupakan pembaruan , atau keduanya, dll., dll.
Dualitas mengatakan dua hal. Pertama, setiap$L$ dapat diidentifikasi dengan kisi downdeals bilangan prima, yaitu elemen $x\in L$ secara unik ditentukan oleh pembagi utamanya, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; dengan kata lain, setiap$x$adalah pertemuan dari pembagi utamanya. Apalagi setiap downdeal$D$ dari $\Pi\!L$ aku s $D_x$ untuk yang unik $x\in L$, yaitu untuk $x=\bigwedge D$.
Kedua, dualitas mengatakan bahwa setiap poset $P$ dapat diidentifikasi dengan poset bilangan prima dari $\mathscr D\!P$. Yaitu,$p\in P$ menjadi diidentifikasi dengan $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ dan setiap bilangan prima $\mathscr D\!P$ aku s $\not\uparrow p$ untuk yang unik $p\in P$. Bahkan$p\leqslant q$ iff $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.
Sekarang untuk poset terbatas $P$, downdealsnya ada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan antichains-nya: ke downdeal $D$ satu menetapkan antikain $\max\!D$ elemen maksimalnya, dan ke antikain $\alpha\subseteq P$ downdeal $\downarrow\!\alpha$ elemen di bawah ini $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.
Pertanyaan saya adalah: dapatkah seseorang mencirikan secara abstrak, aljabar, tanpa menarik dualitas ini, elemen-elemen kisi distributif terbatas $L$yang sesuai dengan antikain maksimal dari dual posetnya?
Lebih eksplisit (saya harap saya tidak membuat kesalahan saat menerjemahkannya): apakah ada karakterisasi aljabar murni, tanpa menyebutkan bilangan prima, dari mereka $a\in L$ dengan properti itu untuk prima apapun $p\notin D_a$ ada yang prima $p'\in\max D_a$ dengan $p'|p$?
Untuk pertanyaan inspiratif itu sebenarnya kita hanya perlu mempertimbangkan kisi-kisi distributif hingga bebas , yang artinya hanya mempertimbangkan poset$P$yang merupakan kumpulan kekuatan penuh dari beberapa himpunan terbatas, diurutkan dengan penyertaan. Tidak banyak yang diketahui tentang kardinalitas himpunan semua antikain maksimal dalam sebuah rangkaian kekuatan. Menurut OEIS , urutan ini dimulai seperti$1,2,3,7,29,376,31764,...$
Pertanyaan Peta kelas semua poset hingga yang berasal dari antikain berukuran maksimal tampaknya sangat terkait erat, tetapi yang satu menyangkut antikain dengan ukuran terbesar, sedangkan milik saya adalah tentang semua antikain maksimal, yaitu antikain yang tidak terkandung dalam antikain lain. Jelas antikain semacam itu mungkin memiliki berbagai ukuran secara umum, khususnya dalam rangkaian kekuatan. Misalnya sama-sama dua unsur antikain$\{\{1\},\{2\}\}$ dan satu elemen antikain $\{\{1,2\}\}$ adalah antikain maksimal dalam kumpulan kekuatan $\{1,2\}$.
Jawaban
Ini adalah deskripsi (wiki komunitas) tentang kemungkinan jawaban, bukan jawaban itu sendiri. Semua orang diundang untuk mencoba dan mengubahnya menjadi jawaban yang nyata. Atau (jelas) tinggalkan dan tulis jawaban yang benar-benar nyata.
Richard Stanley menjelaskan dalam komentarnya bahwa antichains maksimal $A$ dari $P$ berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan interval boolean maksimal $\mathscr D\!P$.
Secara umum, diberikan $D'\subseteq D$ dengan $D,D'\in\mathscr D\!P$, mudah untuk melihat interval itu $[D',D]$ isomorfik kisi $\mathscr D(D\setminus D')$, dimana $D\setminus D'$ adalah subposet dari $P$dengan urutan parsial yang diinduksi. Begitu$[D',D]$ adalah boolean jika dan hanya jika $D\setminus D'$ adalah antikain.
Sebaliknya, antikain apapun $A\subseteq P$ menimbulkan interval boolean seperti itu, dengan $D=\downarrow\!A$ dan $D'=D\setminus A$. Dan (jelas?) Antikain maksimal sesuai dengan interval boolean maksimal.
Sekarang ada konstruksi, yang pertama kali saya lihat dilakukan oleh Harold Simmons. Untuk sebuah elemen$a$ dalam aljabar Heyting lengkap, biarkan $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Kemudian $[a,\tau a]$ adalah interval boolean terbesar dengan dasar $a$.
Jelas dalam aljabar co-Heyting lengkap ada operator yang ditentukan masing-masing $\delta$ seperti yang $[\delta b,b]$ adalah interval boolean terbesar dengan puncak $b$.
Contoh. Dalam kisi set tertutup ruang topologi,$\delta$adalah turunan Cantor-Bendixson. Artinya, untuk satu set tertutup$C$, $\delta C$ adalah himpunan titik batasnya.
Jadi jika kita berada dalam aljabar bi-Heyting lengkap, kedua operator tersedia, dan sebuah interval $[a,b]$ adalah boolean maksimal jika dan hanya jika $a=\delta b$ dan $b=\tau a$.
Ini kemudian tampaknya menyiratkan bahwa kedua elemen tersebut $a$ memuaskan $\delta\tau a=a$ dan elemen $b$ memuaskan $\tau\delta b=b$entah bagaimana harus sesuai dengan antikain maksimal. Secara khusus, dalam kasus aljabar kita$\mathscr D\!P$ untuk beberapa poset $P$, kemudian $\tau\delta D=D$ untuk $D\in\mathscr D\!P$ harus berarti itu $\max D$ adalah antichain maksimal, sementara $\delta\tau D=D$ harus berarti itu $\min(P\setminus D)$ adalah antikain maksimal.