Evaluasi $\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx$.
Saya mencoba mengevaluasi integral berikut: $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ dimana $\zeta >0$adalah bilangan real positif. Karena antiturunan dari fungsi ini hanya dalam hal integral eksponensial, saya memutuskan untuk menggunakan pendekatan yang berbeda.
Upaya saya
Saya melakukan hal berikut $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(i \zeta e^{ ix}\right)^n}{n!} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n!} \int_0^{\pi} e^{nix} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n! (in)}\left(\underbrace{e^{i\pi n}}_{(-1)^n} -1\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta^ni^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$ Untuk kemudian memverifikasi apakah prosedur saya benar, saya menggunakan WolframAlpha untuk mengevaluasi kedua sisi persamaan untuk nilainya $\zeta = 1$. Dari sini saya dapat itu$$ \int_0^{\pi} e^{i e^{ ix}} \ dx = 1.2494... \neq -0.9193... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$Saya tidak yakin di mana saya membuat kesalahan saya. Saya pikir menukar integral dan jumlahnya dibenarkan karena saya yakin jumlahnya konvergen secara mutlak, tetapi sekarang saya tidak begitu yakin.
Adakah yang bisa memberi tahu saya di mana kesalahan saya? Atau sebagai alternatif, dapatkah ada yang memberi tahu saya bagaimana saya bisa mengevaluasi integral ini? Terima kasih!
Sunting: Berkat komentar, saya percaya bahwa saya dapat menyederhanakan integral menjadi$$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt $$ Saya tidak yakin apakah pendekatan yang saya ambil adalah cara yang baik untuk menunjukkan hal ini, tetapi jika ada yang punya ide tentang bagaimana saya bisa sampai di sini, saya akan sangat menghargai mereka!
Jawaban
Setelah bermain-main dengan integral untuk beberapa saat, saya yakin saya telah menemukan cara untuk menyelesaikan integral dan mendapatkannya dalam bentuk $\text{Si}(\zeta)$.
Katakanlah kita mendefinisikan $F(\zeta)$ sebagai $$ F(\zeta) := \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ Di sini kita melihat itu $F(0) = \int_0^{\pi} 1\ dx = \pi$. Sekarang, dari sini kita dapat menganalisis turunan dari$F$ sebagai berikut: \begin{align} F'(\zeta) &= \frac{d}{d\zeta} \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \frac{\partial}{\partial \zeta }e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx =\int_0^{\pi}e^{i \zeta e^{ ix}}\left(e^{ix}\right)i\ dx \\ &\overset{\color{blue}{u=ix}}{=} \int_0^{i\pi}e^{i \zeta e^u} e^u \ du \overset{\color{blue}{s=e^{u}}}{=}\int_1^{-1}e^{i \zeta s} \ ds = \frac{e^{i \zeta s}}{\zeta i}\Bigg\vert_{s=1}^{s=-1} = \frac{1}{\zeta i}\left(e^{-i\zeta} - e^{i \zeta}\right)\\ &= -\frac{2}{\zeta} \left( \frac{e^{i\zeta}-e^{-i\zeta}}{2i}\right) = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} \end{align}mengingat bahwa kita dapat menempatkan turunan sebagai parsial di dalam integral karena aturan integral Leibniz. Di sisi lain, dengan teorema fundamental kalkulus, kita dapat dengan mudah melihatnya$$ \frac{d}{d\zeta}-2\text{Si}(\zeta) =-2 \frac{d}{d\zeta} \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} $$ Dan sejak kami menemukan $2$ fungsi dengan turunan yang sama, kita tahu harus sama sampai sebuah konstanta, atau dengan kata lain $$ F(\zeta) = -2 \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c $$ Tetapi mengingat kondisi awal yang kita miliki, kita dapat menyelesaikan nilai konstanta sebagai berikut $$ F(0) = \pi = \int_0^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c = c $$ dan jadi kami mendapatkan hasil akhirnya $$ \boxed{\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt} $$
Saya pikir solusi ini berlaku untuk semua $\zeta \in \mathbb{R}$, yang berarti saya bisa menggeneralisasi masalah asli lebih dari sekedar nilai positif. Saya yakin saya tidak melewatkan detail apa pun kali ini, tetapi jika saya punya, beri tahu saya!
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\left.\int_0^{\pi}\expo{\ic\zeta{\large\expo{\ic x}}}\!\!\dd x \,\right\vert_{\ \zeta\ \in\ \mathbb{R}}} = \int_{\large z\ \in\ \expo{\large\ic\,\pars{0,\pi}}} \expo{\ic\,\zeta z}\,{\dd z \over \ic z} \\[5mm]= &\ \lim_{\epsilon \to 0^{\large +}}\bracks{% -\int_{-1}^{-\epsilon}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} - \int_{\pi}^{0}\exp\pars{\ic\,\zeta\epsilon\expo{\ic\theta}} \,{\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta \over \ic \epsilon\expo{\ic\theta}} -\int_{\epsilon}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x}} \\[5mm] = &\ -\mrm{P.V.}\int_{-1}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} + \pi = \pi - \int_{0}^{1}\pars{\expo{\ic\,\zeta x} - \expo{-\ic\,\zeta x}}\,{\dd x \over \ic x} \\[5mm] = &\ \pi - 2\int_{0}^{1}{\sin\pars{\zeta x} \over x}\,\dd x = \pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\zeta}\int_{0}^{\verts{\zeta}}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x \\[5mm] = &\ \bbx{\large\pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\xi}\,\mrm{Si}\pars{\verts{\zeta}}} \\ & \end{align} $\ds{\mrm{Si}}$adalah Fungsi Integral Sinus .