Functor pengganti fibran

Question

Dalam potongan di bawah ini (diambil dari buku MC Hovey) mengapa $$X\mapsto QX$$tapi kemudian arahnya terbalik :$$QX\to X$$?

Juga, saya ingin memahami dalam paragraf itu bagaimana caranya $\alpha$ dan $\beta$digunakan untuk mendapatkan fungsi pengganti ini: apakah keduanya digunakan untuk fungsi pengganti cofibrant, misalnya?

Answer 1

Aksioma faktorisasi fungsional menegaskan bahwa setiap faktor peta dengan kofibrasi diikuti oleh asiklik (sepele) fibrasi (dan Anda juga dapat menggeser bagian "sepele" ke faktor kofibrasi). Diberikan peta$\varnothing \to X$, yang selalu ada sebagai $\varnothing$ adalah awal, kami menerapkan aksioma ini untuk mendapatkan faktorisasi $$ \varnothing \to QX \to X $$dimana yang pertama adalah kofibrasi dan yang kedua adalah fibrasi sepele. Ini adalah peta Anda$QX \to X$. Proses melakukan ini, bagaimanapun, adalah sebuah functor yang bertindak sebagai$X \mapsto QX$. Bahwa ini adalah functor adalah "functorial" dalam faktorisasi fungsi. Ini tidak berarti ada peta$X \to QX$. Dengan kata lain, penggantian kofibran memberikan sebuah fungsi$Q$ dengan $Q(X)=QX$. Dia hanya menulis ini sebagai$X \mapsto QX$ (dan tidak $X \to QX$, yang berarti sesuatu yang berbeda dan tidak benar).