Fungsi kontinu dengan turunan dini atas lebih besar dari 0 menunjukkan fungsi meningkat

Question

Membiarkan $f$ terus berlanjut $[a,b]$ dengan $\bar D f \geq 0$ (turunan Dini atas dari $f$) di $(a,b)$. Menunjukkan bahwa$f$ meningkat $[a,b]$. Petunjuk: Tunjukkan bahwa ini benar$g$ dengan $\bar D g \geq \epsilon > 0$ di $[a,b]$. Terapkan ini ke fungsinya$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

Ini adalah pertanyaan 19 dari bab 6.2 Analisis Royden-Fitzpatrick edisi ke-4.

Pendekatan saya adalah sebagai berikut

1. $g$ kontinu karena merupakan kombinasi linier dari 2 fungsi kontinu.
2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ yang berarti $g$ terus meningkat $(a,b)$.
3. $f = g - \epsilon x$ dan $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ menyiratkan $f$ meningkat (tidak menurun) $(a,b)$.

Apakah masuk akal? Terima kasih atas bantuannya. Pertanyaannya juga terkait dengan fungsi Kontinu di$[a, b]$ dengan turunan atas dan bawah yang dibatasi $(a, b)$ adalah Lipschitz.

Answer 1

Bagaimana Anda tahu bahwa $2$memegang? Faktanya, ini adalah inti dari buktinya, kecuali saya salah membaca pertanyaan Anda, Anda perlu melakukan sedikit pekerjaan. (Menggambar akan membantu!) Pertama, anggap saja$\bar D f >0$ di $(a,b)$. Jika ada$a<c<d<b$ seperti yang $f(c)>f(d)$ lalu kita bisa memilih $f(c)>\mu>f(d)$. Membiarkan$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ dan pertimbangkan $\xi=\sup S.$ Catat itu $c<\xi<d$. Ambil urutan yang meningkat$(t_n)\subseteq (c,d)$ seperti yang $t_n\to \xi.$ Kemudian, $f(t_n)\to f(\xi)$. Jika$f(\xi)\neq \mu$ lalu ada a $\mu<\alpha<f(\xi)$. Kontinuitas$f$ sekarang menyiratkan bahwa ada jeda $I=(\xi,\xi+\delta)$ seperti yang $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Tetapi ini bertentangan dengan definisi$\xi.$ Jadi, $f(\xi)= \mu.$

Kami telah menunjukkan itu untuk masing-masing $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$, dan kami menyimpulkan itu $ D^+ f(\xi)\le 0$, yang merupakan kontradiksi. Dengan demikian, klaim tersebut benar untuk ketimpangan yang ketat dan$now$ kami mendefinisikan $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Ini mengikuti itu$\bar D g_{\epsilon} >0$ di $(a,b)$ begitu $g_{\epsilon}$ tidak menurun di sana, dan sebagai $\epsilon$ sewenang-wenang, $f$ juga tidak menurun.