Fungsi massa jenis: bagaimana ada massa jenis pada titik?
Kami sering membahas kepadatan massa, kepadatan muatan, dan fungsi lain seperti: $\rho(x,y)$ untuk pelat ultra tipis dan $\rho(x,y,z)$untuk objek 3-d. Satuan untuk keluaran fungsi ini mengatakan massa atau muatan / volume satuan seperti$\frac{kg}{m^3}$ atau $\frac{C}{m^3}$. Saya tidak dapat memahami kepadatan pada satu titik.
Saya menduga bahwa ketika kita mengatakan massa per satuan volume "pada suatu titik", yang kami maksud adalah massa yang terkandung dalam volume tepat di sekitar titik tersebut. Di sini, kami mengatakan "segera sekitar" dalam pengertian kalkulus sehingga volumenya mendekati nol. Dengan cara ini himpunan semua titik bersama-sama masih merupakan objek penuh.
Apakah ini benar? Atau apakah saya meleset dari sasaran?
Jawaban
Saat kita mengatakan massa jenis adalah $\rho(x,y,z)$, yang kami maksud adalah massa dalam wilayah berhingga mana pun $R$ diberikan oleh $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ Dengan kata lain, menentukan massa jenis $\rho(x,y,z)$ adalah cara singkat untuk mendeskripsikan fungsi yang dibutuhkan suatu wilayah $R$ sebagai masukan dan mengembalikan massa $M(R)$ di wilayah itu sebagai keluaran.
Wilayah $R$bisa sangat kecil, jadi intuisi Anda berada di jalur yang benar. Jika kita ambil$R$menjadi satu titik , lalu massa$M(R)$ adalah nol, tidak peduli seberapa besar kerapatan massanya (selama itu terbatas).
Zat (yang menyusun massa) bersifat diskrit. Kami memiliki molekul, atom, partikel yang lebih kecil, dll, ...
Ada petunjuk bahwa ruang itu sendiri juga terpisah (lihat tentang panjang Planck), tetapi kami tidak tahu pasti.
Kemudian lagi, kadang-kadang (hampir selalu, sebenarnya) berguna untuk memperkirakan substansi sebagai halus dan homogen pada skala yang cukup kecil dan menggunakan seluruh peralatan kalkulus yang kami miliki yang menggunakan bilangan real.
Begitulah kepadatan menjadi medan skalar.
Pada dasarnya, Anda benar. Massa yang terkandung dalam suatu titik (saat kita berbicara tentang material kontinu) adalah nol.
Namun, kita memang dapat mengambil sejumlah kecil panjang, luas, atau volume, yang secara matematis dijelaskan sebagai$dx$, $dA$, atau $dV$ mendekati nol. Ini disebut elemen panjang, luas, atau volume. Untuk mencari massa keseluruhan, kita harus menjumlahkan semua produk dari semua massa jenis kecil tak terhingga dengan panjang, luas, atau elemen volume pada semua titik dalam massa dalam kasus 1-, 2-, atau 3d. Penjumlahan ini menjadi satu kesatuan dengan hasil kali massa jenis$\rho$ dengan tiga elemen berbeda (dengan asumsi $\rho$ tidak tergantung pada posisi di $x$, $A$, atau $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
untuk massa di baris,
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
untuk massa di permukaan, dan
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
untuk massa dalam volume.
Jika massa jenis bergantung pada posisi dalam massa, ganti saja $\rho$ oleh $\rho (x)$, $\rho (A)$, dan $\rho (V)$.
Kepadatan massa pada suatu titik ditentukan dengan dua cara:
- batas kerapatan massa rata-rata dalam volume yang mengandung titik saat volume berkurang menjadi nol, dan
- sebagai medan yang terintegrasi untuk memberi massa.
Memahami bagaimana dan kapan kedua definisi ini adalah hal yang sama membutuhkan beberapa teori pengukuran - pada saat Anda mempelajari bagaimana keduanya bukanlah hal yang sama.
Contoh bagaimana mereka adalah hal yang sama. Misalkan massa jenis (medan) adalah konstanta$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$di setiap poin yang dipertimbangkan. Membiarkan$x$menjadi titik seperti itu. Mari kita hitung batas (untuk kesederhanaan) kepadatan rata-rata volume bola untuk bola yang berpusat di$x$. Membiarkan$r$ menjadi radius masuk $\mathrm{cm}$. Volume,$V$, dan massa, $m$, adalah \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(Satuan eksplisit mungkin membuat massa ini terlihat seperti kerapatan. Ingatlah bahwa "$r$" di "$r^3$"memiliki satuan jarak yang membatalkan satuan jarak dalam penyebut satuan eksplisit.)
Kemudian massa jenis pada $x$ adalah $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Perhatikan bahwa kita harus mengambil batasan sebagai$r \rightarrow 0$. Kami tidak dapat mengevaluasi rasio massa terhadap volume pada$r = 0$karena itu melibatkan pembagian dengan nol. Sekarang grafik dari fungsi yang kita batasi. Dari pembatalan aljabar (diperbolehkan di bawah batas, tetapi tidak di luar batas ini), kita berharap untuk melihat fungsi konstan.
Inti nya $(0,1)$dihilangkan, karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Untuk menyelinap ke nilai di sana, kami menggunakan batas. Perhatikan bahwa jika medan kepadatan bervariasi (fluktuasi kecil di sekitar kepadatan rata-rata dan / atau tren ke kepadatan yang lebih tinggi atau lebih rendah dari$x$) kita akan melihat variasi ini dalam kurva. Model yang sangat sederhana ini tidak memiliki fitur seperti itu.
Saya akan menambahkan sudut pandang lain, karena pertanyaannya hanya tampak seperti sesuatu yang sangat maju atau yang hanya muncul di bidang fisika itu: Apa yang Anda tanyakan persis sama dengan paradoks panah Zeno:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
Pada dasarnya, saya yakin Anda sudah familiar dengan turunan, tetapi turunannya tidak intuitif saat diterapkan pada jumlah yang berubah-ubah. Tentunya kita dapat berbicara tentang kecepatan rata-rata selama beberapa durasi ∆ t , dan alasan bahwa ketika membatasi durasi ke satu momen waktu, kita mendapatkan kecepatan sesaat pada saat tertentu - kuantitas berguna yang kita ketahui sudah didefinisikan dengan baik.
"Tetapi untuk memiliki kecepatan, Anda harus bepergian, dan Anda tidak dapat melakukan perjalanan jika waktu tidak berjalan!" Ya, ini sama saja dengan tidak adanya kepadatan "seketika" yang intuitif (dm / dV) jika Anda melihat pada sebuah titik massa, tetapi bagaimanapun kami bekerja dengan turunan dan mereka bekerja. :)