Gambar set kompak di bawah fungsi kontinu sebagian

Question

Membiarkan $a,b>0\in\mathbb{R}$. Membiarkan$U$ menjadi domain di $\mathbb{C}^n$. Membiarkan$f:[a,b]\longrightarrow U$menjadi peta yang terus menerus sebagian. Lalu$f[a,b]$kompak? Jika tidak kompak, apakah akan dibatasi?

Baik. Ini dalam konteks berikut. Saya diberi jalan yang sedikit mulus$\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Dimana$\gamma(a)=z$ dan $\gamma(b)=w$, untuk diberikan $z,w\in U$. Kami juga diberi fungsi$\alpha:U\times\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{R}$, yang semikontinyu atas. Sekarang dikatakan demikian$t\in[a,b]\longrightarrow \alpha(\gamma(t),\gamma’(t))$dibatasi dan terukur. Saya ingin tahu mengapa fungsinya dibatasi. saya tahu itu$\gamma[a,b]$kompak. Dan$\gamma$menjadi semicontinuous atas akan mencapai maksimumnya pada perangkat yang kompak. Tapi saya tidak yakin$\gamma’$.

Answer 1

Ringkas, belum tentu: Aktif $[0,1]$ membiarkan $f(x) = x, 0\le x<1,$ $f(1)=2.$ Kemudian $f([0,1]) = [0,1)\cup\{2\}.$

Terikat, ya: Pertama, satu lemma: Jika $f$ terus menerus $(a,b)$ dan $f$ memiliki batas terbatas di titik akhir, lalu $f(a,b)$ terikat.

Bukti: Misalkan $\lim_{x\to a^+} f(x)=L,$ $\lim_{x\to b^-} f(x)=M.$ Membiarkan $\epsilon=1.$ Kemudian ada $\delta_a>0, \delta_a<(b-a)/3,$ seperti yang $|f(x)-L|<1$ untuk $x\in (a,a+\delta_a).$ Jadi untuk itu $x,$

$$|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L| <1+|L|.$$

Demikian pula, ada $\delta_b>0,\delta_b<(b-a)/3,$ seperti yang $|f(x)|<1+|M|$ untuk $x\in (b-\delta_b,b).$ Ini mengikuti itu $f$ dibatasi di set $(a,a+\delta_a)\cup (b-\delta_b,b).$

Sejak $f$ kontinu di set kompak $[a+\delta_a,b-\delta_b],$ $f([a+\delta_a,b-\delta_b])$kompak, maka dibatasi. Ini mengikuti itu$f(a,b)$ terikat.

Sekarang misalkan $f$ terus menerus sebagian $[a,b].$ Lalu ada poin $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ seperti yang $f$ terus menerus pada masing-masing $I_k=(x_{k-1},x_k)$ dan memiliki batas terbatas di titik akhir $I_k.$ Demi lemma, masing-masing $f(I_k)$terikat. Set$f(\{x_0,\dots x_n\})$juga dibatasi. Karena itu

$$f([a,b])=f(I_1)\cup \cdots \cup f(I_n)\cup f(\{x_0,\dots x_n\})$$

terikat.