Generalisasi Pfaffian: keluarga matriks yang determinannya adalah pangkat sempurna dari polinomial dalam entri
Membiarkan $n$ menjadi bilangan bulat positif, dan biarkan $M = (m_{ij})$ menjadi miring $2n \times 2n$matriks. Artinya, kami punya$m_{ij} = -m_{ji}$ untuk $1 \leq i, j \leq 2n$. Kemudian diketahui bahwa
$$\det M = p(M)^2,$$
dimana $p$ adalah polinomial di entri $m_{ij}$. Polinomial$p(M)$disebut Pfaffian dari$M$.
Apakah ada generalisasi tentang ini? Artinya, apakah ada keluarga alami dari$kn \times kn$ matriks yang determinannya sempurna $k$pangkat -th dari polinomial dalam entri?
Jawaban
Contoh kelas yang bagus tentang hal ini diberikan oleh Clifford aljabar: Jika $V$ adalah ruang vektor nyata yang diberkahi dengan bentuk kuadrat $q:V\to\mathbb{R}$, aljabar $Cl(q)$ adalah aljabar yang dihasilkan oleh elemen $V$ tunduk pada aturan perkalian $x^2 = -q(x)$. Jika$M$ adalah $Cl(q)$-module, katakanlah $M\simeq\mathbb{R}^m$, lalu kami memiliki penyertaan $V\hookrightarrow\mathrm{End}(M)$ dan polinomial karakteristik $x\in V\subseteq\mathrm{End}(M)$ mudah dilihat $(t^2+q(x))^{m/2}$, jadi kita punya $$ \det(x) = q(x)^{m/2} $$ untuk semua $x\in V$.
Misalnya, jika $V$ aku s $\mathbb{R}^8$ dengan bentuk kuadrat Euclidean standarnya $q$, kemudian $Cl(q)$ isomorfik untuk $\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{16})$, jadi kita bisa ambil $M=\mathbb{R}^{16}$ (dan setiap $Cl(q)$-module adalah $\mathbb{R}^{16k}$ untuk beberapa bilangan bulat $k$). Jadi, dalam hal ini, kami punya$\det(x) = p(x)^8$ dimana $p(x) = |x|^2$ untuk semua $x\in V$.
Secara umum, kapan $V\simeq\mathbb{R}^n$ dan $q_n:V\to\mathbb{R}$ adalah nondegenerate, dimensi nontrivial minimal $Cl(q_n)$-module tumbuh (secara kasar) secara eksponensial dengan $n$, jadi minimal $m$ tumbuh secara eksponensial dengan $n$. Ini menunjukkan bahwa ada contoh nontrivial yang 'tidak dapat direduksi' dengan$\det(x) = p(x)^k$ untuk $k$ besar secara sewenang-wenang dan tidak ada batasan pada dimensi yang memungkinkan $n$ dari subruang $V\subset\mathrm{End}(M)$.
Keterangan : Diberikan subruang linier$V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^{m})$ sedemikian rupa sehingga ada polinomial $p:V\to\mathbb{R}$ dan bilangan bulat $k = m/\deg(p)>1$ seperti yang $\det(x) = p(x)^k$, kami mengatakan bahwa pasangan $(V,\mathbb{R}^m)$tidak dapat direduksi jika tidak ada subruang nontrivial$M\subset\mathbb{R}^m$ seperti yang $x(M)\subset M$ untuk semua $x\in V$ dan $\det(x_{|M}) = p(x)^j$ untuk semua $x\in V$, di mana, tentu, $j = (\dim M)/\deg(p)$.
Masalah yang menarik untuk subruang linier $V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^m)$ di mana $\det$-fungsi adalah kekuatan yang lebih tinggi dari polinomial $V$ adalah untuk mengklasifikasikan yang tidak dapat direduksi dari dimensi maksimal untuk suatu pemberian $m$.