Gradien fungsi cembung kontinu pada interior domainnya
Diberikan fungsi cembung, semikontinu bawah, dan tepat $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ yang dibedakan pada domainnya, apakah benar gradiennya $\nabla f$ kontinu di bagian dalam domain $f$? Ini saya ambil$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. Apa yang saya temukan adalah untuk fungsi seperti itu$f$, itu pasti benar $f$secara lokal Lipschitz berlanjut pada domainnya dan kemudian menurut teorema Rademacher itu dapat dibedakan secara lokal ae. Namun, ini tidak mendapatkan apa yang saya inginkan. Ada yang punya bukti atau contoh tandingan?
Sunting: ini adalah wajar 9,20 di Rockafellar dan Wets, ternyata.
Jawaban
Tanpa kehilangan keumuman, itu sudah cukup untuk dibuktikan $\nabla f$ kontinu di $x = 0$ kapan $\nabla f(0) = 0$. Seharusnya$x_n \to 0$ seperti itu $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. Diberikan$\epsilon>0$ seperti yang $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, memilih $n$ yang seperti itu $x_n \in B(0,\epsilon)$ dan $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. Kami tahu di sana ada$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, seperti yang $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (yaitu, pilih $y$ ke arah $\nabla f(x_n)$ dekat dengan $x_n$). Untuk$t \in \mathbb R$, biarkan $z_t = t(y-x_n) + x_n$. Dengan konveksitas, lihat itu untuk$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ itu adalah $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ Memilih $t = \epsilon / |x_n - y|$. Catat itu$|z_t| < 2 \epsilon$. Kemudian $$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ Ini bertentangan dengan itu $\nabla f(0) = 0$.
Saya memperbarui posting ini dengan pertanyaan tindak lanjut: Jika $f$ adalah fungsi cembung yang didefinisikan pada beberapa himpunan konveks $E\subseteq \mathbb R^n$ dan jika dibedakan $E$, apakah benar gradiennya harus kontinu $E$ (dan tidak hanya di interior)?