Hasil kali/pembagian eksponensial dengan faktorial sebagai dasarnya

Question

Saya taruh rumus ini di WolframAlpha$$\frac{(26!)^{n+2}}{13!}$$dan disederhanakan menjadi$$2^{23n+36}\cdot175^{3n+5}\cdot7429^{n+2}\cdot34749^{2n+3}$$

Saya mencoba menyelesaikannya dengan tangan\begin{align} \frac{(26!)^{n+2}}{13!} & = \frac{(26\cdot25\cdot\ldots\cdot3\cdot2)^{n+2}}{13\cdot12\cdot\ldots\cdot3\cdot2} \\\\ & = (26\cdot25\cdot\ldots\cdot15\cdot14)^{n+2} \cdot (13\cdot12\cdot\ldots\cdot3\cdot2)^{n+1} \\\\ & = (2^{13}\cdot3^5\cdot5^4\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23)^{n+2}\cdot(2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13)^{n+1} \\\\ & = 2^{23n+36}\cdot(3^5)^{2n+3}\cdot(5^2)^{3n+5}\cdot7^{3n+5}\cdot11^{2n+3}\cdot13^{2n+3}\cdot17^{n+2}\cdot19^{n+2}\cdot23^{n+2} \\\\ & = 2^{23n+36}\cdot(5^2\cdot7)^{3n+5}\cdot(17\cdot19\cdot23)^{n+2}\cdot(3^5\cdot11\cdot13)^{2n+3}\\\\ & = 2^{23n+36}\cdot175^{3n+5}\cdot7429^{n+2}\cdot34749^{2n+3}\\ \end{align}

Pertanyaan saya adalah apakah saya harus melakukan semua pekerjaan ini (faktorisasi prima dari faktorial) setiap kali saya ingin menyederhanakan ekspresi semacam ini atau apakah ada cara yang lebih cepat menggunakan Matematika Diskrit?

Answer 1

Untuk pendekatan yang lebih sistematis, biarkan$v_p(x)$menjadi$p$-penilaian adik dari$x$, lalu dengan beberapa aturan dasar seperti$v_p(x^n)=n\cdot v_p(x)$dan$v_p(x/y)=v_p(x)-v_p(y)$. Kita juga bisa menggunakan rumus Legendre $v_p(n!)=\sum_{i=1}^{\infty}\lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$, jadi\begin{align} v_2\left(\frac{(26!)^{n+2}}{13!}\right)&=(n+2)v_2(26!)-v_2(13!)\\ &=(n+2)\left(\left\lfloor \frac{26}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{16} \right\rfloor \right)\\ &\ \ \ -\left(\left\lfloor \frac{13}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13}{8} \right\rfloor \right)\\ &=(n+2)(13+6+3+1)-(6+3+1)\\ &=23n+36.\\ \end{align}Sekarang lanjutkan dengan cara yang sama untuk$p=3,5,7,11,13,17,19,23$untuk mendapatkan faktorisasi lengkap. Kemudian Anda dapat mengelompokkan istilah tersebut dengan cara apa pun yang Anda suka.