Ideal dari batas $G/U \subset \overline{G/U}$

Aug 16 2020

Membiarkan $G$ menjadi kelompok aljabar semi sederhana, $B \subset G$ adalah subkelompok Borel dan $U \subset B$ adalah radikal unipoten dari $B$. Kita bisa mempertimbangkan keragamannya$G/U$. Mari kita juga menunjukkan$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Diketahui bahwa morfisme alami$G/U \rightarrow \overline{G/U}$adalah embedding terbuka. Membiarkan$\partial{G/U}$ menjadi batas $G/U$ dalam $\overline{G/U}$. Perhatikan sekarang$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, di mana jumlahnya mengalir melalui karakter dominan $\mu$ dari $G$ (kami memperbaiki beberapa torus maksimal $T \subset B$disini $V(\mu)$ adalah representasi yang tidak dapat direduksi dari $G$ dengan bobot tertinggi $\mu$).

Klaim: cita-cita $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ dihasilkan oleh $V(\mu)$ dengan $\mu$menjadi teratur (sangat dominan). Bagaimana membuktikan klaim ini? Mungkin ada referensi?

Jawaban

7 dhy Aug 16 2020 at 02:39

Berikut salah satu cara untuk melihatnya, melalui pengklasifikasian $G$cita-cita radikal -invariant. (Ini memiliki bonus yang secara implisit menggambarkan batas.)

Kata pengantar singkat: $G$cita-cita varian $I$ dari $\mathbb{C}[G/U]$ berada di bijection dengan set bobot $S$ sehingga untuk $\lambda\in S$ dan $\mu > \lambda$, $\mu\in S$. Cita-cita seperti itu radikal jika untuk semua$\lambda\notin S,$ kita punya $n\lambda\notin S$ untuk semua bilangan bulat positif $n$.

Untuk melihat ini, perhatikan itu $G$-invariance memberitahu Anda bahwa $I$ harus dibagi sebagai jumlah $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ untuk beberapa set $S$. Sekarang jika$\lambda\in S,$ peta perkalian $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ bersifat dugaan dan karenanya $\mu > \lambda$ juga harus masuk $S$.

Pernyataan tentang cita-cita radikal mengikuti hal yang sama.

Dari pernyataan ini, Anda dapat melihat bahwa minimal bukan nol $G$-inarian radikal ideal (yang harus memotong batas) sesuai dengan pengambilan $S$ himpunan semua bobot reguler.