Jika dua variabel acak $X_1$ dan $X_2$ tergantung maka harus $X_1^2$ dan $X_2^2$ bergantung?

Question

Jika dua variabel acak $X_1$ dan $X_2$ tergantung kemudian $X_1^2$ dan $X_2^2$ bergantung.

Saya yakin pernyataan ini salah. Mengingat bahwa$X_1$ dan $X_2$ menjadi tergantung berarti

$\sigma(X_1)$ tergantung dari $\sigma(X_2)$ Itu adalah aljabar sigma yang dihasilkan oleh setiap rv tergantung, tetapi sejak $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ dan $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ pengurangan berpotensi menyebabkan aljabar sigma independen.

Contoh counter yang saya dapatkan adalah

membiarkan:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ dan $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Perhatikan dua variabel acak ini sangat bergantung tetapi ketika saya mengkuadratkan keduanya $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ dan $X_1|X_1=1$dengan demikian dua variabel acak kuadrat adalah independen. Apakah ini suara counterexample?

Answer 1

Contoh balasan Anda berhasil, sejak Anda berpikir $X_2^2$ konstan tidak terlalu mengungkapkan, karena tidak tergantung dari segalanya

Mungkin ada yang lain $A$ dan $B$ mandiri standar normal (rata-rata $0$, varians $1$) dan

$X_1=A$ sementara $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

Kemudian $X_1$ dan $X_2$ adalah distribusi normal berkorelasi positif sementara $X_1^2$ dan $X_2^2$ adalah distribusi khi-kuadrat independen