Jika $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ seperti $f(n)=(n,n+1)$ Apakah bersifat surjective dan / atau injective?

Question

Jika $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ seperti $f(n)=(n,n+1)$ Apakah bersifat surjective dan / atau injective?

Saya tahu bahwa ini bersifat dugaan $\Leftrightarrow \forall (a,b) \in \mathbb N \times \mathbb N \exists c \in \mathbb N:f(c)=f(a,b)$

Ini jelas suntik karena jika $(n,n+1)=(m,m+1) \rightarrow n=m$

Saya dapat melihat bahwa ini bukan dugaan tetapi tidak tahu bagaimana membuktikannya, dapatkah saya mendapatkan bantuan?

Answer 1

Mempertimbangkan $(1,1)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Misalkan ada kontradiksi$n\in\mathbb{N}$ dengan $f(n)=(n,n+1)=(1,1)$. Kemudian membaca entri pertama, kita dapatkan$n=1$. Membaca entri kedua, kita mengerti$n+1=1\implies n=0$. Jelas kita tidak bisa$n=1$ dan $n=0$pada waktu yang sama. Kontradiksi. Karenanya$f$ tidak surjective.