Jika $g$ adalah fungsi yang terus menerus dan meningkat dari $x$, buktikan itu $g(X)$ adalah variabel acak.

Question

Latihan 2.3.12 dari Grimmet Stirzaker Probability and Random processesmenanyakan hal-hal berikut. Saya ingin, jika kalian dapat membantu memverifikasi solusi saya.

Membiarkan $X$ menjadi variabel acak dan $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$terus menerus dan meningkat secara ketat. Menunjukkan bahwa$Y = g(X)$ adalah variabel acak.

Solusi Saya.

Sebagai $g$adalah fungsi yang meningkat secara monoton, bersifat suntik (satu-ke-satu). Artinya, jika$x_1 < x_2$, kemudian $g(x_1) < g(x_2)$. Karena itu,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$.

Saya tidak yakin bagaimana menyimpulkannya $g$ bersifat surjective (ke).

Jika $g$ bersifat bijective, fungsi invers $g^{-1}$ ada dan terdefinisi dengan baik.

Oleh karena itu, himpunan

\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}

sejak $X$adalah variabel acak. Karena itu,$g(X)$ adalah variabel acak.

Answer 1

Kontinuitas dan monotonisitas yang ketat $g$tidak relevan. Yang dibutuhkan adalah itu$g$adalah fungsi Borel. Perhatikan bahwa salah satu kondisi "$g$ terus menerus ","$g$ adalah peningkatan monotonik "menyiratkan bahwa $g$ adalah fungsi Borel.

Seandainya $g$adalah fungsi Borel. Membiarkan$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Perhatikan itu$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ karena $g^{-1}(A)$adalah satu set Borel. Karenanya$g(X)$ aku s $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-terukur, yaitu variabel acak.