jika $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ untuk semua bilangan rasional $a<b$, kemudian $f(x)=0$ ae [duplikat]

Question

Membiarkan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$menjadi fungsi yang dapat diintegrasikan.
Tunjukkan jika$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ untuk semua bilangan rasional $a<b$, kemudian $f(x)=0$ hampir di semua tempat.

Petunjuk: Buktikan dulu$\int\limits_Af=0$ untuk $A$ satu set terbuka, lalu untuk $A$ terukur.

Upaya saya: Biarkan $A$ satu set terbuka $\mathbb{R}$. Lalu kita bisa menulis$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ dimana $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$adalah kumpulan terputus-putus interval terbuka dengan titik akhir rasional (Apakah ini mungkin?)

Begitu $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

Lalu bagaimana cara menggunakan result to agar dapat diukur $A$ dan terlebih lagi, setelah melakukannya, dia melakukannya $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ menyiratkan $f=0$ae?
Hargai bantuan Anda

Answer 1

Saya pikir itu sederhana. Membiarkan$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ adalah ukuran himpunan $D$. Kita tahu$\mu (A)=0$ dan $\mu (B)=b-a$. Lebesgue integral:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ Karena $\int_{A} f(x)d\mu=0$(karena $f(x)=0$ hampir di mana-mana) dan $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Answer 2

Anda dapat melakukan trik klasik untuk menentukan koleksi

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

dan kemudian tunjukkan itu $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Sejak$f$ dapat diukur hasil akhir yang diinginkan akan mengikuti karena sebaliknya $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ dimana $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

Anda nanti dapat memverifikasi itu $\mathcal{E}$ adalah $\sigma$-aljabar, jadi jika Anda menunjukkan itu $A\in \mathcal{E}$ untuk set terbuka apa pun $A$, maka itu akan mengikuti itu $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

Akhirnya karena interval dengan titik akhir rasional adalah dasar yang dapat dihitung dari topologi pada $\mathbb{R}$, untuk semua tempat terbuka $A\subseteq \mathbb{R}$ ada kumpulan interval dengan titik akhir rasional, $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ seperti yang $A=\cup (a_k,b_k)$. Menggunakan DCT, Anda mengerti$\int_A f =0$.