Karakterisasi aljabar C * berdimensi hingga?
$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$Membiarkan $A$ menjadi dimensi yang terbatas $*$-aljabar selesai $\mathbb C$.
(Yaitu, aljabar asosiasi yang dilengkapi dengan involusi$*:A\to A$ memuaskan $(ab)^*=b^*a^*$ dan $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)
Asumsikan untuk $\forall a\in A$ kita punya $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
Apakah itu mengikuti itu$A$ yang dimaksud dengan aljabar C *?
Di sini, spektrumnya $\Spec(x)$ dari suatu elemen $x$ adalah himpunan skalar $\lambda\in \mathbb C$ seperti yang $x-\lambda$ tidak bisa dibalik.
Jawaban
Membiarkan $V$menjadi ruang vektor kompleks yang dilengkapi dengan operasi bintang anti-linier involutif (misalnya aljabar C * yang perkaliannya telah dilupakan). Melengkapi$V$ dengan perkalian nol identik, yaitu $xy=0$ untuk semua $x$ dan $y$ di $V$. Kemudian unitisasi$V$adalah contoh tandingan. Faktanya, setiap elemen$a$ dari $V$ tidak begitu ampuh $\text{spec}(a) = \{0\}$. Akibatnya spektrum elemen bentuk apa pun$a-\lambda$ aku s $\lambda$ dari mana seseorang dengan mudah memeriksa kondisi yang diperlukan.
Namun $a^*a=0$ untuk setiap $a$ di $V$, jadi $\tilde V$ tidak mungkin aljabar C *.