Karakterisasi Set yang Terhubung Secara Lokal
$T_1$ ruang $X$ terhubung dan terhubung secara lokal iff untuk setiap penutup terbuka $\{U_\alpha\}$ dari $X$ dan sepasang poin $x_1,x_2$ dari $X$, ada urutan yang terbatas $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ dan urutan subset terbuka yang terhubung $V_1,\cdots,V_n$ seperti yang
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
- $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ untuk semua $i=1,\cdots,n$
Sekarang, untuk terhubung $X$, kami memiliki itu untuk $x_1,x_2$ dari $X$ dan buka penutup $\{U_\alpha\}$, kita bisa mendapatkan urutannya $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ dari sampulnya sedemikian rupa
- $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
- $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
Juga, sebagai $X$ terhubung secara lokal, setiap komponen set terbuka terbuka.
Sekarang, saya percaya bahwa file $V_i$ yang dibutuhkan adalah komponen dari $U_{\alpha_i}$, Dipilih dengan tepat sehingga Kondisi tersebut $1$ dan $2$memegang. Ini secara otomatis akan mengurus kondisinya$3$. Namun, saya belum bisa menunjukkan ini. Bantuan apa pun akan dihargai!
Jawaban
Membiarkan $X$memenuhi "kondisi penutup terbuka". Kemudian$X$ terhubung karena dua $x_1, x_2 \in X$ terkandung dalam subset terhubung dari $X$ (ambil penyatuan file $V_i$). Untuk menunjukkan itu$X$ terhubung secara lokal, biarkan $x_1 \in X$ dan $U_1$ menjadi lingkungan terbuka $x_1$. Kami harus menemukan lingkungan terbuka yang terhubung$V_1$ dari $x_1$ seperti yang $V_1 \subset U_1$. Set$U = X \setminus \{x_1\}$ buka sejak $X$ adalah $T_1$(ini adalah satu - satunya tempat di mana kita membutuhkan file$T_1$-kebutuhan). Karena itu$\mathcal U = \{U_1, U\}$ adalah sampul terbuka dari $X$. Pilih salah satu$x_2 \in X$ (jika kamu mau $x_2 = x_1$). Ada urutan terbuka yang terhubung$V_i$seperti dalam kondisi Anda. Kita punya$x_1 \in V_1$. Bahkan,$V_1$ terkandung di beberapa anggota $\mathcal U$. Sejak$x_1 \in V_1$, itu tidak mungkin $V_1 \subset U$. Jadi$V_1 \subset U_1$.
Kami selanjutnya membuktikan kebalikannya. Mari kita mulai dengan yang berikut ini
Lemma: Biarkan $M_1,\ldots, M_r$ menjadi subset dari $X$ seperti yang $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ untuk $i =1,\ldots,r-1$. Kemudian ada subset$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ seperti yang $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ dan $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.
Bukti: Panggilan $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ bagus jika$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ dan $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ untuk $i = 1,\ldots,n-1$. Jelas$\{1,\ldots,r\}$bagus. Ada yang bagus$\{k_1,\ldots,k_n\}$dengan minimal$n$ (mungkin $n = r$). Menganggap$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ untuk beberapa pasangan $(i,j)$ seperti yang $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog mungkin kita asumsikan$i < j$. Kemudian$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ baik dengan $n+1-(j-i) < n$, sebuah kontradiksi.
Lemma menunjukkan bahwa dalam "kondisi penutup terbuka" kita dapat mengganti 2. dengan (hanya tampaknya) kondisi yang lebih lemah $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ Membiarkan $\mathcal U$ menjadi sampul terbuka $X$. Untuk$x_1,x_2 \in X$ menetapkan $x_1 \sim x_2$ jika ada urutan terbatas dari himpunan bagian terbuka yang terhubung $V_1,\cdots,V_n$ seperti yang
- Setiap $V_i$ terkandung di beberapa $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ untuk $i = 1,\ldots,n-1$
$\sim$adalah hubungan kesetaraan. Refleksivitas disebabkan oleh keterhubungan lokal (masing-masing$x$ terkandung di beberapa $U \in \mathcal U$, sekarang ambil $n=1$ dan $V_1$ apapun yang terhubung terbuka seperti itu $x \in V_1 \subset U$). Simetri dan transitivitas terlihat jelas.
Kelas kesetaraan $[x_1]$ dengan hormat $\sim $ terbuka: Jika $x_2 \in [x_1]$, kami menemukan urutan $V_i$seperti di atas. Tapi jelas sekali$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Oleh karena itu kelas kesetaraan membentuk partisi$X$menjadi set terbuka terputus berpasangan. Sejak$X$terhubung, hanya ada satu kelas kesetaraan. Jadi, ada dua$x_1,x_2 \in X$ setara yang menyelesaikan pembuktian.
Dalam jawaban ini saya memberikan karakterisasi rantai keterhubungan. Baca itu dulu. Saya tidak memiliki "iff$|i-j| \le 1$"bagian di sana, tapi itu bisa dicapai dengan menggunakan $T_1$-ness dari $X$, periksa buktinya. Saya pribadi tidak suka mencampurkan aksioma pemisahan seperti itu.
Jika $X$ terhubung dan terhubung secara lokal, biarkan $\{U_{\alpha \in A}\}$ menjadi sampul terbuka $X$. Kemudian untuk masing-masing$x \in X$ kita punya $\alpha_x$ dan terbuka terhubung $V_x$ such that $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Then apply the chain characterisation of the connectedness of $X$ to $\{V_x: x \in X\}$ and we've shown one direction, the existence of that cover from connectedness and local connectedness.
How to see prove $X$ connected and locally connected from the "modified chain condition"? Connectedness is easy as we just directly apply the condition to the cover $\{U,V\}$ when $U,V$ is a disconnection of $X$.
Moreoever, let $O$ be open, $p \in O$ and let $C$ be a the component of $p$ in $O$. Apply the fact to the open cover $\{O,X\setminus \{p\}\}$ of $X$. For $y \in C$ and $p$ we find open and connected $V_1,\ldots V_n$ such that $p \in V_1$, $q \in V_n$ and $V_i \subseteq O$ or $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ for all $i$ and adjacent $V_i$ intersect. In fact the "chain" must have length $2$ if you think about it (!), so $n=2$. But then $V_1 \cup V_2$ is connected and a subset of $O$ and shows that $q$ is an interior point of $C$ and $X$ is locally connected.