Kelompok dasar anting-anting Hawaii tidak terhitung

Nov 28 2020

Saya harus menunjukkan kelompok dasar anting Hawaii ($H=\cup^{\infty}_{n=1}K_{n}$, dimana $K_{n}$ adalah lingkaran yang berpusat di $\frac{1}{n}$ dengan radius $\frac{1}{n}$) tidak dapat dihitung, tanpa menggunakan teorema Seifert-van Kampen. Jadi saya telah menemukan dua ide pembuktian:

1. Catat $[n]_{m}$ menjadi loop yang bergerak berlawanan arah jarum jam sebanyak n kali $K_{m}$. Kemudian$\{[n_{1}]_{1}[n_{2}]_{2}...|n_{i}\in\mathbb{Z}, i\in\mathbb{N}\}$ tidak terhitung, karena setiap elemen dalam set ini adalah miliknya $\pi_{1}(H,0)$, kelompok fundamental dengan demikian tak terhitung.

2. Menggunakan notasi yang sama di atas, himpunan $\{[1]_{f(1)}[1]_{f(2)}...|f $ adalah peta bias apa pun dari $\mathbb{N} $ untuk dirinya sendiri$\}$ tidak terhitung, sejak $f$adalah penataan ulang bilangan asli dan ada banyak penataan ulang yang tak terhitung jumlahnya. Jadi, himpunan ini sebagai bagian dari grup fundamental, grup itu sendiri tidak dapat dihitung.

Apakah ini ide pembuktian yang valid?

Jawaban

4 PaulFrost Nov 30 2020 at 18:25

Ide Anda benar, tetapi Anda harus menjelaskan bagaimana Anda memandang suatu elemen $\mathbb Z^{\mathbb N}$ sebagai elemen dari $\pi_1(H)$ dan bahwa fungsi yang dihasilkan $\phi : \mathbb Z^{\mathbb N} \to \pi_1(H)$bersifat suntik. Mari kita uraikan 1.

Mari kita tulis $l_n^m : [0,1] \to K_n$ untuk pengulangan berdasarkan pada $0$ yang bergerak berlawanan arah jarum jam $m$ waktu sekitar $K_n$. Secara eksplisit,$l_n^m(t) = \frac{1}{n}(1- e^{2m\pi i t})$. Menetapkan

$$\psi((m_n)) : [0,1] \to H, \psi((m_n))(t) = \begin{cases}l_n^{m_n} (n(n+1)t - n) & t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \\ 0 & t = 0 \end{cases}$$ Ini adalah peta kontinu yang terdefinisi dengan baik (karena setiap lingkungan sekitar $0$ berisi semua kecuali sangat banyak $K_n$). Membiarkan$\phi((m_n)) = [\psi((m_n))]$, dimana $[-]$ menunjukkan kelas jalur homotopi.

Mari kita tunjukkan itu $\phi$bersifat suntik. Ada pencabutan$r_n : H \to K_n$ yang memetakan semua $K_r$, $r \ne n$, untuk $0$. Membiarkan$i_n : K_n \to H$menunjukkan inklusi. Peta$F_n = (r_n)_* \circ \phi$ memiliki properti yang berurutan $(m_n)$ dikirim ke kelas homotopi jalur yang diberikan oleh $l_n^{m_n} (n(n+1)t - n)$ untuk $t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ dan memetakan semua lainnya $t$ untuk $0$. Jalur ini jelas homotopic$l_n^{m_n}$. Jadi, jika$\phi((m_n)) = \phi((m'_n))$, kemudian $F_n((m_n)) = F_n((m'_n))$ untuk semua $n$, yaitu $[l_n^{m_n}] = [l_n^{m'_n}]$ untuk semua $n$. Tapi ini menyiratkan$m_n = m'_n$ untuk semua $n$.

Mengidentifikasi $\pi_1(K_n)$ dengan $\mathbb Z$ melalui isomorfisme $\iota_n : \mathbb Z \to \pi_1(K_n), \iota_n(m) = [l_n^m]$, kita dapat mengungkapkannya secara alternatif sebagai berikut: Homomorfisme $$R : \pi_1(H) \to \mathbb Z^{\mathbb N}, R(u) = ((\iota_n)^{-1}(r_n)_*(u))$$ memiliki properti $R \circ \phi = id$.

Juga lihat kelompok Fundamental dari pemetaan kerucut peta hasil bagi dari suspensi hingga suspensi yang dikurangi .