Keluarga fungsi dengan $f(0) = 0$ dan $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ normal
Saya punya pertanyaan berikut
Membiarkan $B$ menjadi sekumpulan fungsi $f$, yang bersifat analitik pada disk unit $\mathbb{D}$ dan memuaskan keduanya $f(0) = 0$ dan $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Buktikan itu$B$ adalah keluarga normal.
Ada beberapa bagian dari jawaban saya yang saya tidak yakin.
Pertimbangkan keluarga yang diterjemahkan $g(z) = f(z) - 1$ yang mengambil nilai $\mathbb{C} - [0,1]$. Sejak$g(\mathbb{D})$ hanya terhubung dan bukan nol, kita dapat mendefinisikan cabang analitik bernilai tunggal $\sqrt{g(z)}$ di $g(\mathbb{D})$. Setelah kita mengambil akar kuadrat, semua nilai dari$\sqrt{g(z)}$berada dalam setengah bidang di mana garis yang memisahkan bidang setengah berisi asal. Kemudian, setelah kemungkinan rotasi kita dapat berasumsi demikian$\sqrt{g(\mathbb{D}})$terkandung di bidang setengah kiri. Sekarang, saya dapat menerapkan teknik yang digunakan dalam jawaban ini$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ dengan $Re f>0$ dan $f(0)=1$adalah keluarga normal untuk menunjukkan bahwa keluarga yang diterjemahkan (karenanya$B$) adalah keluarga normal.
Satu hal yang saya tidak yakin adalah apakah saya dapat mengatakan itu semua nilai $\sqrt{g(z)}$terkandung dalam setengah bidang di mana garis yang memisahkan bidang setengah berisi asal. Ini sepertinya benar, tapi saya tidak yakin. Juga, saya tidak menggunakan kekuatan penuh fakta$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ karena saya benar-benar hanya membutuhkan $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Setiap komentar atau saran akan sangat dihargai.
Jawaban
Ide Anda tidak cukup berhasil, dan Anda tidak menggunakan asumsi bahwa interval non-degenerasi yang ditinggalkan di luar rentang harus berfungsi sebagai tanda peringatan (tetapi tentu saja itu sendiri bukan bukti bahwa argumen tidak dapat berfungsi. ).
Untuk melihatnya $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ tidak menyiratkan normalitas keluarga mempertimbangkan fungsinya $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ untuk $k \in \mathbb{N}$. Kita punya$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ untuk semua $k$, dan $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Tapi$f_k(z)$ bertemu secara lokal secara seragam $\infty$ di bidang setengah kanan, dan menyatu secara lokal ke $1$di bidang setengah kiri. Urutan tersebut tidak bertemu secara lokal secara seragam di setiap titik sumbu imajiner.
Kesalahan pertama dalam argumen Anda adalah klaim itu $g(\mathbb{D})$terhubung dengan mudah. Tidak perlu, pertimbangkan misalnya$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ dimana $g(\mathbb{D})$ adalah pelengkap (di bidang) dari sebuah piringan kecil disekitarnya $0$. Keterhubungan sederhana$\mathbb{D}$ menjamin keberadaan akar kuadrat holomorfik $\sqrt{g(z)}$, tapi gambarannya masih bisa semuanya $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Tetapi ide dasar untuk menggunakan akar kuadrat untuk mendapatkan keluarga fungsi holomorfik dengan gambar yang terdapat dalam satu karya setengah bidang, hanya perlu dilakukan sedikit berbeda.
Pertimbangkan transformasi Mbius $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Ini memetakan interval tertutup $[1,2]$ untuk $[-\infty, 0]$, dan $T(0) = 1$.
Dengan menggunakan ini, kita dapat mempertimbangkan keluarga $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ dimana cabang utama dari akar kuadrat digunakan.
Sekarang, $\tilde{B}$hanya keluarga yang dipertimbangkan dalam pertanyaan terkait, maka kami tahu ini keluarga normal. Kemudian tetap menyimpulkan normalitas$B$dari itu. (Jika$(h_k)$ adalah urutan konvergen seragam lokal, lalu $(F\circ h_k)$ juga konvergen secara lokal dalam kondisi ringan $F$.)