Kinetika peluruhan radioaktif paralel simultan
Pertanyaan:
Sebuah isotop radioaktif, A mengalami peluruhan simultan ke inti yang berbeda sebagai: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4,5 \ \ mathrm h) \ end {array}
Dengan asumsi bahwa awalnya tidak ada P maupun Q, setelah berapa jam, jumlah Q akan menjadi dua kali lipat dari jumlah A yang tersisa?
Pemecahan saya:
Saya mendapatkan $t_{1/2}$ untuk $A$ sebagai $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$
Sekarang dari hukum Rutherford-soddy jumlah atom yang tersisa setelahnya$n$ setengah kehidupan adalah,
$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
dan jumlah waktu paruh $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$
Untuk isotop $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ dimana $T$ adalah waktu kerusakan yang umum terjadi $\mathrm A$ dan $\mathrm Q$
Untuk $\mathrm Q$ Saya harus berasumsi bahwa $\mathrm Q$ juga mengalami peluruhan radioaktif untuk membentuk hubungan antara $\mathrm A$ dan $\mathrm Q$
Sekarang menggunakan rumus yang sama seperti di atas $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$
Sekarang menerapkan kondisi dalam pertanyaan, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$
Meningkatkan dengan kekuatan $9$ di kedua sisi,
$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$
yang menyiratkan,
$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$
Karena itu,
$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$
Meskipun saya sudah dapat jawaban dan memenuhi syarat, saya tetap menganggapnya salah karena asumsi yang dibuat $\mathrm Q$ dan sesuatu yang lain perlu dilakukan untuk membuat hubungan antara $\mathrm A$ dan $\mathrm Q$ Apalagi, itu diberikan dalam pertanyaan yang awalnya tidak keduanya $\mathrm P$ maupun $\mathrm Q$ hadir dan saya kira asumsi itu melanggar itu.
Jawaban
Reaksi paralel atau samping orde pertama: Konsep
$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$
Urutan efektif = 1
$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$
$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$
$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$
Bedakan dalam hal $T$,
$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$
$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$
$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$
demikian pula,
$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$
$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$
- proporsi $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [dikalikan 100 untuk persentase]
- proporsi $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [dikalikan 100 untuk persentase]
Masalah sebenarnya
\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}
$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$
$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$
$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$
$$\implies t= 6\mathrm h$$
Jadi, jawabannya adalah 6 jam.
Pertanyaan tersebut telah diselesaikan oleh Yashwini dan jawaban yang diberikan benar.$^2$ Penjelasan pertanyaan yang lebih intuitif dan spesifik akan mengikuti di sini.
Sekarang, dua reaksi yang diberikan adalah:
\ mulai {larik} {cc} \ memerlukan {batal} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4,5 \, \ mathrm h) \\ \ end {larik}
Sekarang menggunakan hukum tarif, kita dapatkan,
\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}
Konstanta laju untuk reaksi orde satu yang memiliki waktu paruh $t_{1/2}$ didefinisikan sebagai:
$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$
Sekarang, gantikan nilai yang diberikan dari $t_{1/2}$ ke dalam persamaan, kita dapatkan $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (sejak $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$
Sekarang, secara intuitif karena kedua reaksi berlangsung bersama, itu berarti bahwa untuk setiap satu mol P yang terbentuk, dua mol Q terbentuk. Oleh karena itu, untuk setiap mol P yang terbentuk, tiga mol A bereaksi (karena satu mol diperlukan untuk setiap mol P dan Q).
Sekarang, kami menambahkan hukum tarif ($1$) dan $(2)$, karena reaksi berlangsung secara bersamaan, untuk mendapatkan:
$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$
Sekarang, sejak menggunakan relasi antara $k_\mathrm{P}$ dan $k_\mathrm{Q}$, kita mendapatkan $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$
Oleh karena itu menggunakan hukum laju terintegrasi untuk reaksi orde satu pada persamaan $(4)$, kita mendapatkan:
$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$
Sekarang, jumlahnya $A$ digunakan di sini akan $A_0 -A$, dan kami mendapatkan nilai itu menjadi:
$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$
Sekarang, seperti yang telah kita catat sebelumnya, untuk setiap tiga mol A yang digunakan, dua mol Q terbentuk. Ini berarti jumlah Q yang sekarang dalam campuran akan menjadi dua pertiga dari$A_\text{used}$. Oleh karena itu, jumlah Q adalah:
$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$
Sekarang kita diberikan syarat, $Q = 2A$, mengganti nilai $Q$ dan $A$ ke dalam relasi yang diberikan, kita dapatkan:
$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$
Memecahkan $t$, kita mendapatkan:
\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}
Sekarang, gunakan persamaan $(3)$, kami mendapatkan konstanta laju $k_\mathrm P$ menjadi $\frac{\ln 2}{9}$. Mengganti nilai ini ke dalam ekspresi waktu, kita mendapatkan:
$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$
Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan agar kondisi ini terjadi adalah:
$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$