Kisi lengkap manakah yang isomorfik terhadap produk kisi yang tidak dapat direduksi?
Diberikan keluarga latices lengkap $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ st untuk semua $i\in I$ kami menunjukkan $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ dan $X=\prod_{i\in I}X_i$ perhatikan kita dapat mendefinisikan kisi lengkap $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (sebut saja produk mereka) $X$ st $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, ditentukan untuk $a,b\in X$ sebagai berikut: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ juga jika $S\subseteq X$ kemudian $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ dan $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ Selain itu kami menyebut kisi apa pun dengan satu elemen sepele dan mengatakan kisi lengkap $\mathfrak{L}$ tidak dapat direduksi jika tidak ada kelompok yang terdiri dari dua atau lebih kisi lengkap yang tidak sepele $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ st $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Sekarang dengan semua itu, pertanyaan saya adalah kapan kisi lengkap isomorfik menjadi produk kisi yang tidak dapat direduksi? Misalnya, apakah ada kriteria 'dasar' atau 'berguna' untuk menentukan ini? Apa contoh kisi lengkap yang tidak isomorfik terhadap produk kisi tak tereduksi? Bisakah seseorang memberi saya beberapa dari ini?
Jelas setiap kisi lengkap hingga isomorfik untuk produk kisi yang tidak dapat direduksi, karena jika kisi itu sendiri tidak dapat direduksi, kita selesai jika tidak kita dapat memfaktorkan ini menjadi dua kisi yang merupakan sublatt dari induk dan dengan demikian dapat diekspresikan sebagai kisi pada set yang masing-masing lebih kecil dari set induk, sehingga mengulangi proses ini berulang kali pada akhirnya akan memberi kita keluarga kisi yang tidak dapat direduksi yang produknya sama dengan induk kita (proses ini harus dihentikan karena setiap kisi ini akan berada pada set berukuran lebih kecil dan menurut definisi kisi sepele tidak dapat direduksi jadi jika kita kebetulan mengurangi kisi seperti itu menjadi satu set pada satu elemen, kita selesai).
Selain itu jika ada kisi yang lengkap $L_1\cong L_2\times L_3$adalah tidak isomorfis dengan prdouct kisi tereduksi kemudian$L_2$ atau $L_3$yang tidak isomorfis untuk produk kisi tereduksi sehingga dengan menerapkan proses sebelumnya kita melihat kisi tidak isomorfik ke prdouct kisi tereduksi harus berisi jumlah tak terbatas sublattices juga tidak isomorfik untuk produk kisi tereduksi ..
Jawaban
Untuk kisi distributif , ada cara yang cukup sederhana untuk memahami pertanyaan-pertanyaan ini. Yaitu, perhatikan jika$L=A\times B$ adalah produk dari dua kisi, elemen $(1,0)$ dan $(0,1)$ saling melengkapi (gabungan mereka adalah $1$ dan pertemuan mereka $0$). Sebaliknya jika$L$ adalah kisi distributif dan $a,b\in L$ adalah saling melengkapi, lalu $L\cong A\times B$ dimana $A=\{x\in L:x\leq a\}$ dan $B=\{x\in L:x\leq b\}$. Memang, ada peta pelestarian tatanan$f:L\to A\times B$ pemetaan $x$ untuk $(x\wedge a,x\wedge b)$ dan peta $A\times B\to L$ mengirim $(x,y)$ untuk $x\vee y$ berbanding terbalik dengan $f$ sejak $L$ bersifat distributif.
Jadi, kisi distributif tidak dapat direduksi jika tidak memiliki elemen pelengkap nontrivial. Himpunan elemen yang dilengkapi dalam kisi distributif apa pun$L$ membentuk aljabar Boolean yang akan saya sebut $B(L)$. Apalagi jika kisi-kisi distributif$L$ adalah sebuah produk $\prod_{i\in I} L_i$, kemudian $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
Secara khusus, jika $L$ adalah produk dari kisi (nontrivial) yang tidak dapat direduksi $\prod_{i\in I} L_i$, kemudian $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, karena masing-masing $B(L_i)$ hanyalah dua elemen kisi $\{0,1\}$. Bahkan,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ dimana $e_i\in L$ adalah $1$ di $i$koordinat dan $0$ di sisi lain, dan elemen ini $e_i$ hanyalah atom dari aljabar Boolean $B(L)$. Dengan identifikasi ini, proyeksi$L\to L_i$ hanyalah peta $x\mapsto x\wedge e_i$.
Jadi, kami menyimpulkan bahwa kisi distributif $L$ isomorfik terhadap produk kisi yang tidak dapat direduksi jika peta $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ adalah isomorfisme, di mana $I$ adalah himpunan atom dari $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, dan $i$koordinat ke $f$ adalah petanya $x\mapsto x\wedge i$. Jika$L$ selesai, ini $L_i$otomatis juga akan selesai. Secara khusus, kondisi yang diperlukan untuk$L$ menjadi isomorfik menjadi produk kisi yang tidak dapat direduksi $B(L)$ menjadi isomorfik ke himpunan pangkat aljabar Boolean.
Jadi, misalnya, jika $L$ adalah aljabar Boolean lengkap yang tidak isomorfik ke himpunan pangkat, maka $L$bukanlah produk dari kisi yang tidak dapat direduksi. Untuk contoh eksplisit,$L$ bisa menjadi kisi subset terbuka reguler dari $\mathbb{R}$, atau kisi subset dari Borel $\mathbb{R}$ modulo set ukuran Lebesgue $0$. Untuk contoh yang berbeda,$L$bisa menjadi kisi subset terbuka dari set Cantor. Kemudian$B(L)$ adalah aljabar Boolean dari himpunan bagian clopen dari himpunan Cantor, yang tidak memiliki atom (dan pada kenyataannya bahkan tidak lengkap).
Misalnya di mana $B(L)$ adalah set daya tapi $L$ masih bukan produk dari kisi-kisi yang tidak dapat direduksi, Anda dapat mengambilnya $L$ menjadi kisi subset terbuka dari $\beta\mathbb{N}$. Kemudian$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, tapi atomnya adalah singletons $\{n\}$ untuk $n\in\mathbb{N}$ jadi petanya $L\to\prod_{i\in I}L_i$ seperti yang dijelaskan di atas adalah peta $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ mengirim subset terbuka dari $\beta\mathbb{N}$ untuk persimpangannya dengan $\mathbb{N}$, yang tidak bersifat suntik.