Klasifikasi fungsi holomorfik pada separuh bidang kanan dengan kondisi tertentu
Masalah berikut berasal dari ujian pendahuluan analisis kompleks lama:
Tentukan semua fungsi analitik $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ di pesawat setengah $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ itu memuaskan $f(\sqrt{n}) = n$ dan $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ untuk semua bilangan bulat positif $n$.
Jelas $f(z) = z^2$memenuhi ini, dan saya ingin menunjukkan bahwa ini adalah satu-satunya contoh. Catat itu$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ gagal memenuhi batas turunan untuk apa pun $\epsilon > 0$. Selain itu, ikatan turunan menyiratkan bahwa hal tersebut$f$ bersifat analitik dan sub-eksponensial dengan orde 1. Saya dapat menerapkan teorema Carlson untuk menunjukkan itu $h(z): =f(z) - z^2$ benar-benar nol, tetapi ini tampaknya seperti palu yang sangat berat untuk digunakan untuk masalah awal.
Panduan apa pun tentang bukti yang lebih sederhana akan sangat dihargai!
Jawaban
Membiarkan $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; sejak$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ kami mengerti $g$ awalnya didefinisikan pada $\Re z >-1$ meluas ke seluruh fungsi yang memuaskan $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$.
Menganggap $g$ bukan nol dan $k \ge 1$ urutan nol $g$ di $0$. Lalu jika$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ nomor $N(R) \ge [R^2]$ dari nol $g$ dengan $|z|\le R$ memenuhi (dengan teorema Jensen):
$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$
jadi dengan menggunakan mayorisasi yang mudah $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$, seseorang mendapat:
$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ untuk beberapa hal yang konstan $M$ yang menggabungkan integral di LHS dari $0$ untuk mengatakan $10$ dan $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$, jadi kami mendapatkan kontradiksi yang besar $R$