Membuktikan adjunction $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$

Question

Saya ingat itu $\Delta$ adalah kategori yang objeknya berbentuk $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ dan morfisme adalah peta pengawetan tatanan (lemah).

Membiarkan $\mathcal{C}$ menjadi kategori, dan biarkan $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ menjadi kategori functor objek kosimplikasi di $\mathcal{C}$.

Ada sebuah functor $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ yang mengambil objek kosimplikasi $X[-]$ untuk nilainya di $0$, $X[0]$.

Ada juga Functor $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ mengambil sebuah objek $C$ ke fungsi konstan $rC$ seperti yang $rC[n]=C$ untuk semua $n$.

Saya membaca klaim bahwa kami memiliki sambungan $$\text{ev}_0 \dashv r$$ dan saya ingin membuktikannya.

Diberikan transformasi alami $\eta: X[-] \Rightarrow rC$, Tentu saja saya dapat mengirimkannya ke peta $\eta_0:X[0]\to C.$

Di sisi lain, saya bisa mempertimbangkan diagram $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ wehere masing-masing $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ diinduksi oleh lonjakan tersebut $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ mengirim $n \mapsto n-1$ dan $i \mapsto i$ untuk semua $i<n$.

Jadi dikasih peta $f:X[0] \to C,$ Saya bisa mendefinisikan secara induktif $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$

Saya pikir jika saya membuktikan keluarga ini $\{f_i\}_i$mendefinisikan peta himpunan kosimplikasi, yaitu transformasi alami, saya selesai. Tapi saya tidak tahu bagaimana melakukan itu peta umum wrt$X[i]\to X[j].$

Answer 1

Untuk setiap $n$ ada peta unik $!_n : n \to 0$ di $\Delta$. Seandainya$\alpha : X \implies r(c)$adalah transformasi alami. Kemudian secara alami di peta$!_n$, komponen $\alpha_n$ harus sama dengan $\alpha_0 \circ X(!_n)$. Demikianlah transformasi alam dalam$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ sepenuhnya ditentukan oleh $\alpha_0$.

Di sisi lain, jika $\alpha_0 : X(0) \to c$ adalah morfisme dalam $\mathcal{C}$ lalu kita bisa mengangkatnya ke transformasi alami $\alpha : X \implies r(c)$ dengan mendefinisikan komponen $\alpha_m : X(m) \to c$ menjadi $\alpha_0 \circ X(!_m)$. Ini benar-benar transformasi alami karena jika$f:n \to m$ di $\Delta$ kemudian $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$.