Menampilkan konvergensi rangkaian yang diberikan konvergensi suatu urutan
Saya sedang mengerjakan masalah yang meminta saya untuk menunjukkan berikut ini: Diberikan urutan bilangan real, $(x_n), n=0,1,2,...$ seperti yang $x_n \rightarrow x$, menunjukkan bahwa $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ Pendekatan saya adalah mencoba dan membuktikan ini dengan cara yang mirip dengan bagaimana kita membuktikan rumus deret geometris (yang akan sederhana jika $(x_n)$adalah urutan yang konstan). Jadi melihat jumlah parsial dari seri di atas, kita melihat bahwa:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ Dari sini aku tidak bisa membiarkannya $p\rightarrow 1^{-}$namun, jika tidak semuanya akan dibatalkan. Jadi saya ingin menggunakan fakta itu$x_n$ menyatu dengan $x$, dan saya curiga saya harus menggunakan fakta itu sejak itu $x_n \rightarrow x$, itu $(x_m - x_{m-1})$ persyaratan akan $0$ untuk yang besar $m$. Namun, saya masih tidak tahu bagaimana menangani persyaratan awal dalam jumlah di mana$(x_m - x_{m-1})$ istilah tidak dapat diabaikan.
Jawaban
$\epsilon>0$:
kami ingin menunjukkan bahwa ada a $\delta$ untuk itu jika $p\in\left(1-\delta,1\right)$ kemudian $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. kita tahu bahwa x_n konvergen ke x, jadi ada N sedemikian rupa sehingga untuk semua n> N kita punya:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. kami juga tahu bahwa:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. mari kita lihat bagian kedua:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
jadi kita punya: $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
tetapi untuk p yang cukup dekat dengan 1, bagian pertama bernilai nol dan bagian kedua bernilai x dikurangi epsilon. Jadi Anda dapat menunjukkan untuk delta kanan batas bawah yang Anda butuhkan. Batas atas dapat ditampilkan dengan cara yang sangat mirip.
Saya harap ini bisa dimengerti