Mendekati fisika menggunakan analisis biasa daripada analisis nonstandar
Sejauh yang saya tahu, dalam fisika, kalkulus didekati dengan menggunakan analisis nonstandar $dx$, $dy$, dll. (infinitesimals) diperlakukan sebagai kuantitas tetap, sangat kecil daripada pendekatan analisis standar menggunakan batasan di mana mereka diperlakukan sebagai sesuatu yang mendekati $0$.
Saya mengerti bahwa pendekatan tidak standar sangat intuitif dan mudah dimengerti. Sebenarnya, saya telah melakukan kalkulus melalui pendekatan tidak standar sampai beberapa hari yang lalu ketika saya menemukan pertanyaan filosofis yang berkaitan dengan infinitesimals. Saya menjadi sangat bingung karena pendekatan ini dan ketika saya mendekati kalkulus menggunakan batasan, saya merasa seperti saya telah memperoleh tingkat pemahaman dan kejelasan konseptual yang sama sekali baru.
Sekarang, dalam fisika, untuk sebuah fungsi $f$, $f'(x)$ atau $\dfrac{df}{dx}$ diartikan sebagai tingkat perubahan $f(x)$ dengan perubahan yang sangat kecil $x$, yaitu $dx$. Hal ini juga diartikan sebagai kira-kira kemiringan garis singgung kurva$f$ di $(x,f(x))$. Pendekatan dan intuisi geometris ini juga digunakan untuk menurunkan teorema dasar kalkulus yang menyatakan bahwa jika$F(a)$ memberikan area di bawah kurva $f(x)$ dari $x = 0$ untuk $x = a$, yaitu $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Kemudian, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ dimana: $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ Pendekatan tidak standar juga digunakan untuk menurunkan rumus-rumus tertentu seperti pekerjaan yang diturunkan sebagai berikut:
- Untuk perpindahan yang sangat kecil $dx$, pekerjaan sangat kecil yang dilakukan yaitu $dW$ adalah $F_2(x)\cdot dx$
- Jumlah total pekerjaan yang dilakukan, yaitu $W$, adalah $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Catatan: di sini, $F_2(x)$ menunjukkan gaya yang dialami oleh partikel pada posisinya $(x)$. Misalnya, jika kita berbicara tentang gaya elektrostatis,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)
Jadi, pada dasarnya, sebagian besar kalkulus yang digunakan dalam fisika didekati dengan menggunakan analisis infinitesimals dan nonstandar.
Namun, analisis standar tampaknya jauh lebih ketat bagi saya dan lebih masuk akal. Saya telah bertanya kepada beberapa teman yang bertanya kepada guru mereka bagaimana seseorang dapat menggunakan analisis standar dalam fisika daripada analisis nonstandar tetapi tidak ada guru yang peduli.
Jadi, saya ingin tahu bagaimana saya bisa mendekati fisika melalui analisis standar.
PS: Aku sedang dalam 10 th kelas dan hanya telah membahas dasar-dasar 11 th kelas belum. Jawaban yang dapat saya pahami tanpa banyak pengetahuan tentang matematika tingkat lanjut akan sangat kami hargai.
Edit: Saya sangat berterima kasih atas dua jawaban yang telah saya terima. Saya dengan sembrono berasumsi bahwa analisis nonstandar dan penggunaan heuristik infinitesimals adalah satu dan sama, padahal sebenarnya tidak demikian, seperti yang ditunjukkan oleh pengguna Qmechanic dan PM 2Ring . Saya ingin mengklarifikasi bahwa setiap kali saya menggunakan istilah 'analisis tidak standar', saya sebenarnya merujuk pada perlakuan$dy$, $dx$, dll. sebagai angka aktual, sangat kecil dan dari $\dfrac{dy}{dx}$ sebagai rasio ...
Jawaban
Jadi, pada dasarnya, sebagian besar Kalkulus yang digunakan dalam Fisika didekati dengan menggunakan analisis infinitesimals dan nonstandar.
Premis ini tidak benar. Sementara argumen fisika tentang infinitesimals mungkin mirip dengan argumen tipikal dalam "analisis non-standar", fisika dasar biasanya tidak beroperasi pada tingkat ketelitian di mana Anda dapat dengan jelas memutuskan apakah ia menggunakan analisis non-standar atau tidak. Fisika tidak tertarik pada pertanyaan dasar analisis, dan misalnya turunan dari suatu fungsi adalah perkiraan kemiringannya terlepas dari fondasi mana yang Anda gunakan (mungkin lebih atau kurang bekerja untuk menurunkan ini tergantung pada fondasi Anda, tetapi tetap saja selalu benar).
Jika Anda mencari ketelitian, sering kali ada interpretasi yang sama validnya dari "infinitesimals" fisik dalam hal bentuk diferensial standar , misalnya$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ hanyalah definisi dari 1-bentuk yang disebut $\mathrm{d}W$, yang integralnya atas jalur $\gamma$ didefinisikan sebagai pekerjaan $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ sepanjang jalan.
Tidak ada perbedaan ketelitian antara NSA dan analisis standar. (Dalam hal teori model, keduanya sama-sama konsisten.) Namun, sebagian besar kalkulus sangat kecil yang Anda lihat dalam makalah dan buku fisika perlu dikerjakan ulang atau diuraikan sedikit untuk membuatnya menjadi NSA.
Biasanya sepele untuk menerjemahkan bolak-balik antara dua bahasa. Ilmuwan dan insinyur harus fasih dalam keduanya.