Menemukan himpunan semua nilai yang mungkin dari sebuah fungsi yang mirip dengan Inequality Nesbitt

Question

Membiarkan $x,$ $y,$ $z$menjadi bilangan real positif. Temukan himpunan semua kemungkinan nilai$$f(x,y,z) = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}.$$

Ini tampaknya sangat mirip dengan ketidaksetaraan Nesbitt, di mana saya melakukan beberapa penelitian untuk menemukan masalah ini. Nesbitt menyatakan bahwa nyata positif$a, b, c,$ kemudian $$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}.$$Namun saya perhatikan bahwa fungsi yang dinyatakan dalam masalah tidak dalam orientasi yang sama untuk menerapkan Nesbitt, dan hanya serupa. Saya bingung membuat kemajuan dalam masalah ini, karena saya telah mencoba menggabungkan penyebut untuk membentuk satu pecahan besar serta mengganti variabel untuk mencoba membersihkan penyebut. Saya sangat menghargai bantuan untuk memulai masalah ini.

Answer 1

kupikir $1 < f(x,y,z) < 2.$ Memang karena $$\frac{x}{x+y} \geqslant \frac{x}{x+y+z}.$$ Kesetaraan terjadi saat $x = 0$ atau $z = 0.$

Karena itu $$f(x,y,z) \geqslant \frac{x+y+z}{x+y+z} = 1.$$ Tapi $x,y,z$ adalah bilangan real positif, jadi $f(x,y,z) > 1.$

Lain $$\frac{x}{x+y} < \frac{x+z}{x+y+z},$$ setara dengan $$\frac{yz}{(x+y)(x+y+z)}\geqslant 0.$$ Kesetaraan terjadi saat $yz=0.$ Begitu $$f(x,y,z) < \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2.$$