Menemukan titik di antara perpotongan dua bidang

Question

Saat melakukan latihan mencari garis antara dua perpotongan bidang, kita perlu mencari vektor titik dan arah dari garis tersebut. Vektor arah mudah karena tegak lurus dengan kedua normalnya, tapi saya agak bingung bagaimana cara mengambil titik.

Misalkan, kita diberi persamaan dua bidang,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

Dan,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

Untuk menemukan titik di sepanjang garis perpotongan, sering kali diinstruksikan untuk meletakkan salah satu koordinat sebagai nol, katakanlah $x, y$ atau $z$dan kemudian cari koordinat yang tersisa. Tapi, saya tidak yakin mengapa kita melakukan ini, seperti dalam, bagaimana kita tahu bahwa garis di antara perpotongan dua garis harus selalu memiliki$x$ , $y$ dan $z$ penyadapan?

Saya melihat posting ini tetapi tidak berpikir itu menjawab pertanyaan saya dan juga tidak ditujukan pada posting ini

Answer 1

Seandainya $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Kemudian Anda dapat merumuskan kembali masalah sebagai berikut:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ dan memecahkan $x$ dan $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ Ini menunjukkan bahwa untuk setiap $z=t\in{\Bbb R}$ Anda mendapatkan solusi unik untuk $x$ dan $y$. Apa yang terjadi di sini adalah perpotongan kedua bidang tersebut$P_1,P_2$ dengan pesawat $z-t=0$ menyediakan dua garis non-paralel (karena determinan AB bukan nol) di $x-y$pesawat. Oleh karena itu, kedua garis ini memiliki titik potong yang unik.

Sekarang, ketika determinan AB Anda di atas adalah nol (jadi kedua garis Anda di $x-y$ pesawat sejajar) maka Anda dapat mencari bukan nol $B-C$ matriks (dan pecahkan $y,z$) atau bukan nol $C-A$ matriks (dan pecahkan $z,x$). Jika semua determinan ini adalah nol maka kedua bidang awal Anda sebenarnya paralel, sehingga persimpangannya kosong atau itu adalah bidang.

Perhatikan bahwa tiga determinan yang Anda hitung sebenarnya adalah komponen perkalian silang vektor normal untuk bidang, sehingga perkalian silang yang tidak menghilang memang merupakan syarat untuk perpotongan menjadi garis.

Answer 2

Seseorang mungkin bisa memecahkan pertanyaan seperti itu dengan mengasumsikan salah satu dari $(x,y,z)$menjadi nol, atau mempertahankan satu sebagai konstanta. Intuisi di balik menjaga salah satunya tetap nol adalah bahwa, sebagian besar waktu garis yang kita dapatkan tidak sejajar dengan bidang sehingga pasti berpotongan.

Jika tidak demikian, mempertahankan variabel nol akan menghasilkan pasangan persamaan linier yang tidak konsisten.