Mengapa Anda dapat mengubah bentuk kontur dalam ekspresi integral untuk penyebar Klein-Gordon untuk mendapatkan penyebar Euclidean?
Saya mencoba untuk memahami penggunaan fungsi korelasi Euclidean di QFT. Saya mencari masalah yang saya hadapi hingga bagaimana mereka terwujud dalam contoh paling sederhana yang dapat saya pikirkan: penyebar dua titik untuk persamaan Klein-Gordon. VP Nair (pdf halaman 57-58) dimulai dengan penyebar Feynman untuk persamaan Klein Gordon,
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
Dia kemudian berpendapat bahwa Anda dapat merusak kontur sedemikian rupa $k_0$ integral naik sumbu imajiner, untuk mendapatkan
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
pada titik mana Anda mengubah variabel untuk mendapatkan hubungan yang kita inginkan antara penyebar Minkowski dan Euclidean. Nair mengatakan bahwa "tidak ada perpotongan kutub integral dalam deformasi ini", dan saya dapat melihat bahwa: Anda mendeformasi kontur melalui kuadran kanan atas dan kiri bawah bidang kompleks, jadi hindari kutub. Masalah saya adalah bagaimana dengan kontur seperempat lingkaran pada infinity ? Anda harus membiarkan titik akhir tetap saat Anda merusak bentuk kontur, jadi untuk mendapatkan$k_0$integral untuk mengikuti garis imajiner kita harus memiliki kontur yang menghubungkan ujung imajiner dengan garis nyata yang menghilang. Tetapi tentunya hal ini tidak dapat terjadi pada kontur kanan atas dan kiri bawah, karena integrand memiliki faktor$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$, yang tergantung dari tandanya $x_0$akan menyimpang di salah imajiner positif yang besar$k_0$ atau imajinasi negatif yang besar $k_0$?
Ada cara mengemudi yang sedikit berbeda untuk masalah yang sama. Nair tiba di relasinya
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
di mana propagator Euclidean didefinisikan
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
Masalahnya di sini adalah jika Anda memasukkan nilai imajiner $x_4-y_4$ ke integral penentu maka Anda mendapatkan divergensi eksponensial di $k_4$ integral, sehingga hasilnya kurang jelas.
Jadi apa yang terjadi disini? Apakah saya melewatkan sesuatu yang jelas atau apakah Nair melakukan gerakan tangan yang mengerikan? Dan, jika yang terakhir, dapatkah Anda mengarahkan saya ke arah perlakuan hubungan antara fungsi korelasi Euclidean dan Minkowski yang tidak cukup teknis secara matematis seperti makalah Osterwalder dan Schrader ? (Hanya itu yang berhasil saya temukan yang direferensikan di tempat lain!) Ketika saya mencoba menemukan hubungan dalam kasus yang lebih rumit dan umum - misalnya dengan melihat fungsi partisi yang dinyatakan sebagai integral jalur - saya pikir saya telah tersandung pada masalah yang kurang lebih sama, dari perbedaan faktor eksponensial ini, jadi saya merasa bahwa jika saya mendapatkan derivasi dari penyebar KG ini diurutkan maka sisanya harus masuk ke tempatnya.
Jawaban
Ini mungkin agak tidak jelas dalam cara Nair menulisnya, tetapi Anda harus membuat kedua penggantinya.$k_0=ik_4$ dan $x^0=ix^4$serentak. Ini menjaga properti konvergensi integral asli tetap utuh.
Perhatikan bahwa terdapat tanda tambahan dalam konvensi Nair karena ia berubah dari besaran yang menyerupai waktu menjadi besaran yang menyerupai ruang, yang kemudian mendapatkan tanda yang berbeda pada perkalian vektor $k\cdot x$. Sebaliknya Anda bisa melakukannya$k_0\to ik_0$ dan $x^0\to -ix^0$, meninggalkannya sebagai kuantitas seperti waktu. Jika Anda melakukannya dengan cara ini, jelas bahwa Anda hanya menetapkan$k_0$ dan $x^0$fase yang sama tapi berlawanan. Daripada penuh$\pi/2$, Anda bisa menggunakan fase apa pun $k_0\to e^{i\theta}k_0$ dan $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ dan jelas bahwa produknya $k_0 x^0$ tidak berubah.
Saya tidak tahu apakah Nair membahas ini, tetapi penambahan bagian imajiner ke koordinat waktu ini memiliki signifikansi fisik dalam teori perturbasi. Ini memperkenalkan evolusi non-kesatuan karena operator evolusi$e^{-i\hat H x^0}$ tidak lagi bersatu jika $x^0$memiliki bagian imajiner. Evolusi non-kesatuan ini memungkinkan Anda secara otomatis memproyeksikan ruang hampa yang berinteraksi dari ruang hampa bebas, sehingga memungkinkan Anda membangun perkiraan yang mengganggu terhadap kuantitas dalam teori yang berinteraksi menggunakan bahan-bahan teori bebas. Saya tidak akan mencoba untuk menulis secara detail dalam jawaban ini, tetapi hal-hal ini tercakup dalam Peskin & Schroder Bab 4, khususnya halaman 86-87 dan 95.
Jawaban pengguna kaylimekay adalah benar bahwa produk dalam $k_{\mu} x^{\mu}$pada prinsipnya harus tetap tidak berubah di bawah rotasi sumbu , lih. misal jawaban Phys.SE saya disini , disini & disini .
Sayangnya aturan transformasi $x^0=ix^4$ di Ref.1 berlawanan dengan transformasi Wick standar $x^4=ix^0$, lih. misalnya posting Phys.SE ini .
Ini memperumit masalah yang Ref. 1 menggunakan$(+,-,-,-)$Konvensi tanda Minkowski, lih. jawaban Phys.SE saya di sini .
Referensi:
- VP Nair QFT: A Modern Perspective , 2004; bab 4, hal. 43-46, eqs. (4.13-19).
Cara itu $G(x,y)$ disiapkan untuk digunakan untuk bilangan kompleks $x_0,y_0$ adalah menggunakan transformasi Laplace terbalik (bukan transformasi Fourier terbalik) $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ di mana bagian eksponen berisi $-k_0(x_0-y_0)$seperti yang terlihat pada transformasi Laplace. Dengan cara ini seharusnya tidak ada perbedaan yang buruk. Faktanya, integral selalu dapat digeser dalam transformasi Laplace terbalik$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ Ini mungkin hanya seperti mengatakan mari kita gunakan kernel Klein-Gordon dan lihat apa yang bisa kita temukan.
Ternyata menggantikan itu $k_0\leftarrow -ik_0$ dalam persamaan di atas menghasilkan $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$yang merupakan penyebar Euclidean. Ini, setidaknya yang saya rasakan, bagaimana seharusnya rotasi Wick dilakukan.