Mengapa himpunan cembung tertutup berisi garis jika dan hanya itu tidak memiliki titik ekstrem? [duplikat]
Membiarkan $A\subset\mathbb R^n$menjadi tertutup dan cembung. A poin$x\in A$dikatakan sebagai titik ekstrim jika tidak dapat direpresentasikan sebagai kombinasi titik-titik cembung nontrivial$A$. Membiarkan$\operatorname{ext}A$ menunjukkan himpunan titik ekstrim $A$.
Saya telah menemukan pengamatan bahwa "$A$berisi baris jika dan hanya jika tidak ada titik ekstrim "(halaman 37, komentar 1, dalam Hug dan Weil (2010) , pdf dapat ditemukan di sini ).
Saya bisa melihat itu jika $A$ berisi garis $L$, maka tidak boleh ada poin ekstrem. Memang, diberikan apapun$x\notin L$, lalu penutupan cembung (tertutup) dari $\{x\}\cup L$ harus sama antara semuanya $L$ dan garis sejajar $L$ berpotongan $x$, dan set tersebut tidak memiliki titik ekstrim. Secara geometris, ini sama dengan konstruksi berikut:
$\qquad\qquad\qquad$
Namun, saya tidak yakin bagaimana melanjutkan ke arah lain. Bagaimana saya membuktikan bahwa jika$A$ tidak mengandung garis, maka harus ada setidaknya satu titik ekstrim (atau ekuivalen, bahwa tidak adanya titik ekstrim menyiratkan bahwa setidaknya satu baris terkandung dalam $A$)?
Jawaban
$A$tentu saja harus dianggap tidak kosong. Kemudian kita dapat menggunakan induksi pada dimensi.
Di $\mathbb{R}^1$, satu set cembung tertutup tidak kosong $A$ yang tidak mengandung baris memiliki salah satu bentuk $(-\infty, a]$, $[a, +\infty)$, atau $[a,b]$ (dengan $a \leqslant b$), dan untuk semua ini $a$ adalah titik ekstrim $A$.
Untuk langkah induksi, biarkan $x \in A$ dan pertimbangkan garis yang berubah-ubah $L$ melewati $x$. Sejak$L \not\subset A$ ada benarnya $y \in L\setminus A$. Membiarkan$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$ dan $z = x + s(y-x)$. Lalu ada hyperplane pendukung untuk$A$ melewati $z$. Ini diberikan oleh$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$ untuk beberapa $\eta \in \mathbb{R}^n$ dengan $\langle \eta, \eta\rangle = 1$. Kita bisa tanpa kehilangan keumuman menganggap itu$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$ untuk semua $\xi \in A$.
Sekarang $A_H = A \cap H$ adalah himpunan cembung tertutup dalam bidang-hiper $H$ (yang dapat kami identifikasi $\mathbb{R}^{n-1}$) yang tidak berisi baris dan tidak kosong (untuk $z \in A_H$). Dengan hipotesis induksi,$A_H$memiliki poin ekstrim. Tapi titik ekstrim$A_H$ juga merupakan titik ekstrim $A$, karena jika benar $p$ dari $A_H$ direpresentasikan sebagai kombinasi cembung dari dua titik $A$, maka kedua poin ini harus ada $A_H$. Jadi$A$ memiliki poin ekstrim.
Berikut sedikit penulisan ulang dari jawaban lainnya .
Saya ingin membuktikan bahwa tertutup, cembung, tidak kosong $A\subset\mathbb R^n$ yang tidak mengandung garis, selalu mengandung setidaknya satu titik ekstrim.
Itu $\mathbb R^1$ Kasusnya sepele: satu-satunya yang mungkin $A$ adalah interval tertutup terbatas atau segmen bentuk yang tidak terbatas $[a,\infty)$ dan $(-\infty,a]$. Oleh karena itu, mari kita asumsikan bahwa pernyataan itu benar$A\subset\mathbb R^{n-1}$.
Membiarkan $x\in A$ menjadi titik yang sewenang-wenang, dan biarkan $L$ ada beberapa garis yang lewat $x$. Jadi$x\in L$, dan dengan hipotesis $L\not\subset A$. Akan ada beberapa$y\in L\setminus A$. Biarkan$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ menjadi elemen di batas $A$, biarkan $H$ menjadi hyperplane pendukung untuk $A$ melewati $z$, dan pertimbangkan set $A_H\equiv A\cap H$. Berikut adalah representasi dari konstruksi ini di$\mathbb R^2$:
Dalam kasus sederhana ini, $H$ harus menjadi garis dan dengan demikian $A_H\subset\mathbb R^1$ mengandung titik ekstrim sesuai hipotesis induksi (dalam kasus khusus ini $A_H=\{z\}$). Secara lebih umum,$A_H$ akan ditutup, cembung, subset tidak kosong dari $\mathbb R^{n-1}$, dan dengan demikian mengandung poin ekstrim.
Sekarang tinggal membuktikan bahwa titik ekstrim $A_H$ juga merupakan titik ekstrim untuk $A$. Dengan kata lain, kita harus membuktikan bahwa jika$p\in A_H$ kemudian $p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$. Untuk tujuan itu, kami ingat itu$A_H$ didefinisikan sebagai persimpangan antara $A$ dan hyperplane, yang artinya ada beberapa $\eta\in\mathbb R^n$ dan $\alpha\in\mathbb R$ seperti itu, mendefinisikan $f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, kita punya $f(\xi)\le \alpha$ untuk semua $\xi\in A$, dan $f(\xi)=\alpha$ untuk semua $\xi\in A_H$.
Tapi kemudian, jika $p\in A_H$ adalah kombinasi cembung dari elemen $A$, $p=\sum_k \lambda_k a_k$ dengan $a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$, kemudian $$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$ yang hanya mungkin jika $f(a_k)=\alpha$ untuk semua $k$, yaitu jika$a_k\in A_H$.