Mengapa tidak ada penyatuan aksioma topologi dan aksioma teori pengukuran?
Utas terkait di sini .
Aksioma ruang topologi dan ruang ukuran pada awalnya tampak sangat mirip. Mereka berbeda dalam aksioma penutupan serikat dan persimpangan. Kemiripan luar biasa antara metrik dan ukuran membuat saya bertanya-tanya mengapa aksioma-aksioma ini didefinisikan secara terpisah. Tidak bisakah mereka mengembangkan teori hanya dengan konsep ukuran dan ruang ukur?
Satu masalah yang saya lihat adalah hal itu mungkin menciptakan logika melingkar. Jika kita membutuhkan aksioma ruang topologi untuk mengembangkan konsep dalam teori pengukuran, itulah alasan mengapa kita perlu memisahkan kedua konsep tersebut. Penutupan serikat sewenang-wenang versus serikat yang dapat dihitung, dan persimpangan terbatas versus persimpangan yang dapat dihitung, bukanlah sesuatu yang ingin saya lihat sebagai satu-satunya perbedaan antara kedua konsep tersebut. Mengapa memiliki dua sistem terpisah ketika mereka, setidaknya sejak awal, merupakan konsep yang sangat mirip?
Jawaban
Topologi dan $\sigma$-algebras dirancang dengan tujuan yang berbeda-beda. $\sigma$-algebras dirancang untuk bermain baik dengan ukuran, yang merupakan jenis peta pengukur volume umum. Topologi dirancang untuk menangkap gagasan tentang "kedekatan": kapan adalah suatu titik$x$ dekat dengan satu set $S$? Jika setiap lingkungan terbuka$x$ berpotongan $S$. Kapan urutan mendekati secara sewenang-wenang$x$? Jika setiap lingkungan terbuka$x$berisi poin dalam urutan. Hal-hal seperti itu. Jadi tidak mengherankan bahwa pada awalnya, topologi dan$\sigma$-algebras berbeda.
Tapi! Jika kita memikirkannya lebih lanjut, maka kita mungkin menemukan bahwa secara intuitif, lingkungan terbuka suatu titik adalah lingkungan yang memiliki volume tertentu. Seperti, jika saya membuat bola terbuka$x$, Saya dapat mengetahui bahwa volumenya bukan nol. Dan$\sigma$-algebras dirancang untuk memungkinkan pengukuran volume. Jadi, tidak seharusnya semua set terbuka dibuat menjadi file$\sigma$-aljabar? Lagi pula, mungkin berguna untuk menetapkan volume ke set tersebut. Dan jawabannya adalah ya, itu masuk akal. Kami sangat ingin jika kami dapat menetapkan volume untuk membuka set. Misalnya, ini akan memungkinkan fungsi berkelanjutan untuk bermain baik dengan volume, karena fungsi berkelanjutan bermain bagus dengan set terbuka. Dan itulah mengapa kami mendefinisikan Borel$\sigma$-aljabar : diberi spasi topologi$(X,\tau)$, kami mendefinisikan Borel $\sigma$-aljabar aktif $X$ sebagai $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$, itu yang terkecil $\sigma$-aljabar yang berisi semua subset terbuka dari $X$, jadi semua himpunan bagian yang harus memiliki volume. Sekarang$(X,\mathcal B(X))$ adalah ruang terukur di mana kita dapat menentukan ukuran $\mu$untuk menetapkan volume ke setiap set terbuka, jika kita begitu ingin. Pendekatan ini sering digunakan untuk mendefinisikan ukuran Lebesgue, misalnya. Kami mengambil setiap set terbuka$\mathbb R^n$dan menetapkan volume yang seharusnya dimiliki secara intuitif, dan kemudian kita mengambil semua set lain yang mungkin kita dapatkan dengan menyatukan dan memotong ini dan menetapkan volume yang sejalan dengan definisi ukuran. (Ada pendekatan "lebih baik" dengan menggunakan ukuran luar yang menghasilkan rangkaian yang lebih terukur, tetapi yang ini lebih sederhana.)
Tapi Borel $\sigma$-aljabar hanyalah satu hal yang spesifik $\sigma$-aljabar yang mungkin kita inginkan. Untuk aplikasi lain, yang berbeda mungkin bekerja lebih baik, terutama jika kita tidak benar-benar peduli tentang rasa kedekatan pada set yang mendasarinya. Maka kami tidak membutuhkan topologi, jadi mengapa membatasi kami$\sigma$-aljabar dengan topologi?