Mengapa urutan ini tidak konvergen secara seragam?

Question

Dalam masalah ini dijelaskan bahwa $f_n(x)$konvergen pointwise, namun tidak konvergen seragam. Penjelasan mengapa tidak konvergen unifromly juga diberikan. Namun saya tidak dapat memahaminya, ketika saya menggunakan teorema di bawah ini saya mendapatkan batas itu$f_n - f = 0$ Mungkinkah seseorang memberi saya jawaban yang lebih detail mengapa urutannya konvergen secara seragam?

Answer 1

Sejak $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, kamu punya $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. Dengan kata lain,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$dan, secara khusus, itu tidak benar$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Jadi, konvergensinya tidak seragam.

Answer 2

Pertama, Anda harus menentukan batas runcing . Membiarkan$x\in[0,1]$. Untuk$n>1/x$, $f_n(x)=0$, jadi batasnya adalah $0$.

Seperti yang ditunjukkan oleh penjelasan, kami punya $\|f_n\|_\infty=n/4$. Jadi,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ dan menggunakan teorema yang Anda kutip, batas penyimpangan suprema sama dengan $f_n$ tidak menyatu secara seragam.

Answer 3

Menurut definisi konvergensi urutan dalam ruang bernorma (atau dalam ruang metrik umum) urutan (fn) tidak dapat berkumpul ke f karena norma (di sini adalah sup-norma) dari (fn - f)> = 1/4 untuk semua n.