Menghitung functor turunan untuk modul sederhana

Question

Mempertimbangkan $M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ sebagai $R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$modul. Saya mencoba menghitung apa$Ext_{R}^n(M,M)$ untuk semua $M$. Untuk tujuan ini, saya biarkan

$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$

menjadi resolusi bebas (dan karenanya proyektif). Menghitung$Ext_{R}^n(M,M)$, Saya sekarang hanya mengambil kelompok homologi $$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$ Sejak $\text{Hom}(R,M) \cong M$, di atas hanyalah rantainya $$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$ sehingga semua kernelnya $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ dan gambarnya adil $0$ maka $Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ untuk semua $n$. Apakah ini benar, apakah saya membuat kesalahan kecil, atau apakah saya pada dasarnya salah memahami sesuatu yang penting? (Atau keduanya!)

Answer 1

Anda membuat kesalahan kecil: perhatikan bahwa jika Anda memiliki functor yang tepat $F$, dan Anda ingin menghitung $L_*F(X)$, Anda mengambil resolusi proyektif $P_*\to X$ dan kemudian ambil homologi dari $F(P_*)$, bukan homologi$F(P_*\to X)$.

Jadi kesalahan kecil Anda adalah mengatakan bahwa Anda sedang mencari kelompok homologi dari $\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$

(perhatikan, omong-omong, peta pertama akan diidentifikasi dengan identitas $\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$, tidak dengan $\times 3$, karena ini adalah dua proyeksi $\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)

Kompleks rantai yang homologinya Anda cari hanya memiliki $\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$ada di dalamnya. Namun, itu memberi Anda hasil yang Anda katakan.